Question

8．如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD、CB為的切線，D、B為切點(diǎn)，連接AD、BD，OC交于點(diǎn)E，AE交BD于G，AE的延長線交BC于點(diǎn)F，給出下列結(jié)論：①AD∥OC；②點(diǎn)E為△CDB的內(nèi)心；③EG=EF；④FC=FE，其中正確的是（　�。�

• A． ①
• B． ①②
• C． ①②③
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①根據(jù)切線長定理，證△COB≌△COD，可得∠DCO=∠BCO．故OC⊥BD．根據(jù)圓周角定理即可得出AD⊥BD，由此可證得AD∥OC；
②連接DE、BE；上面已證得弧DE=弧BE，根據(jù)弦切角定理以及圓周角定理相等，易求得DE、BE分別平分∠CDB和∠CBD；根據(jù)三角形內(nèi)心的定義，即可得出結(jié)論②正確；
③根據(jù)圓周角定理得到，GF⊥BE．又由②知，BE是∠CBD的平分線，根據(jù)等腰三角形的“三合一”性質(zhì)得到EG=EF．故③正確；
④若FE=FC，則∠OCB=∠CEF=∠OEA=∠OAE，在Rt△OBC中，BD⊥OC，易得∠DBA=∠OCB（因?yàn)镺C⊥BD），即∠DBA=∠EAB；因此弧BE=弧AD，而這個條件并不一定成立．故④不正確．

解答 解：①連接OD，DE，EB．CD與BC是⊙O的切線，易證△CDO≌△CBO，則∠DCO=∠BCO．故OC⊥BD．
∵AB是直徑，
∴AD⊥BD，
∴AD∥OC，故①正確；

②∵CD是⊙O的切線，
∴∠CDE=$\frac{1}{2}$∠DOE，而∠BDE=$\frac{1}{2}$∠BOE，
∴∠CDE=∠BDE，即DE是∠CDB的角平分線，同理可證得BE是∠CBD的平分線，
因此E為△CBD的內(nèi)心，故②正確；

③如圖，∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，即GF⊥BE．
又由②知，BE是∠CBD的平分線，
∴BE是等腰△GBF的邊GF上的中垂線，則EG=EF．故③正確；

④若FC=FE，則應(yīng)有∠OCB=∠CEF，應(yīng)有∠CEF=∠AEO=∠EAB=∠DBA=∠DEA，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BE}$，而$\widehat{AD}$與$\widehat{BE}$不一定相等，故④不正確．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了圓的綜合題．解題時，利用了切線長定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，弦切角定理，內(nèi)心的概念求解．