【題目】如圖1、圖2,在圓O中,OA=1,AB=,將弦AB與弧AB所圍成的弓形(包括邊界的陰影部分)繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)α度(0≤α≤360),點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是A′.
(1)點(diǎn)O到線段AB的距離是 ;∠AOB= °;點(diǎn)O落在陰影部分(包括邊界)時,α的取值范圍是 ;
(2)如圖3,線段B與優(yōu)弧ACB的交點(diǎn)是D,當(dāng)∠A′BA=90°時,說明點(diǎn)D在AO的延長線上;
(3)當(dāng)直線A′B與圓O相切時,求α的值并求此時點(diǎn)A′運(yùn)動路徑的長度.
【答案】(1);120;30°≤α≤60°(2)D在AO的延長線上(3)(3)①α=120°或300°②當(dāng)α=120°時,A′運(yùn)動路徑的長度=;當(dāng)α=300時,A′運(yùn)動路徑的長度=.
【解析】
⑴根據(jù)垂徑定理可得AM=BM=,在直角三角形中可知O到線段AB的距離,再根據(jù)正弦定理,結(jié)合圓的性質(zhì)即可求出答案;(2)利用直徑所對的圓周角為直角的性質(zhì),得出AD為直徑,進(jìn)而得出點(diǎn)D在AO的延長線上;(3)點(diǎn)A'的運(yùn)動路徑為以B為圓心,AB為半徑的圓弧,當(dāng)直線A'B與圓0相切時,分兩種情況,分別計算兩種情況下的點(diǎn)A'的運(yùn)動路徑的長度.
(1)如圖1,過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D,
由垂徑定理知,AD=AB=,
又OA=1,
∴sin∠AOD==,
∴∠AOD=60°.
∴OD=OAcos60°=
又OA=OB,
∴∠AOB=2∠AOD=120°.
如圖2,當(dāng)A′B與OB重疊時,a=∠OBA=30°;
當(dāng)OB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)至與圓相交,交點(diǎn)為B′,連接OB′,則OB=OB′=BB′,此時△OBB′是等邊三角形,
∴∠OBB′=60°,
∴α的取值范圍是:30°≤α≤60°.
故答案是:;120;30°≤α≤60°;
(2)連接AD,∵∠A′BA=90°,
∴AD為直徑,
所以D在AO的延長線上;
(3)①當(dāng)A′B與⊙O相切,
∴∠OBA′=90°,
此時∠ABA′=90°+30°=120°
或∠ABA′=90°﹣30°=60°
∴α=120°或300°
②當(dāng)α=120°時,
A′運(yùn)動路徑的長度==
當(dāng)α=300時,
A′運(yùn)動路徑的長度==.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P,過P點(diǎn)作PF⊥AD交BC的延長線于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)H.(1)∠APB的度數(shù)為_______°;(2)求證:△ABP≌△FBP;(3)求證:AH+BD=AB.
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【題目】如圖,點(diǎn)E是正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn),以A為圓心,AB為半徑的弧與BE交于點(diǎn)F,則∠EFD=_____°.
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【題目】一組數(shù)據(jù)0,1,2,2,3,4,若添加一個數(shù)據(jù)2,則下列統(tǒng)計量中發(fā)生變化的是( )
A.方差B.中位數(shù)C.平均數(shù)D.極差
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【題目】已知:關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣(4k+1)x+3k+3=0(k是整數(shù)).
(1)求證:方程有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)若方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù),求k的值.
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【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,,點(diǎn)的坐標(biāo)為,,點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)(點(diǎn)不與、重合),連接,作,且,過點(diǎn)作軸,垂足為點(diǎn).
(1)求證:;
(2)猜想的形狀并證明結(jié)論;
(3)如圖2,當(dāng)為等腰三角形時,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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【題目】如圖平面直角坐標(biāo)系中,A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),AB=BC=,∠ABC=90°,CD⊥x軸.
(1)填空:B點(diǎn)坐標(biāo)為 ,C點(diǎn)坐標(biāo)為 .
(2)若點(diǎn)P是直線CD上第一象限上一點(diǎn)且△PAB的面積為6.5,求P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下點(diǎn)M是x軸上線段OD之間的一動點(diǎn),當(dāng)△PAM為等腰三角形時,直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).
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【題目】如圖,已知AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分線MD交AC于點(diǎn)D,AB于M,以下結(jié)論:①△BCD是等腰三角形;②射線BD是△ACB的角平分線;③△BCD的周長C△BCD=AC+BC;④△ADM≌BCD.正確的有( )
A.①②③B.①②C.①③D.③④
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【題目】如圖,是的直徑,點(diǎn)是上一點(diǎn),與過點(diǎn)的切線垂直,垂足為點(diǎn),直線與的延長線相交于點(diǎn),平分,交于點(diǎn).
求證:平分;
求證:是等腰三角形.
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