Question

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30．D是AC上的動點(diǎn)，過D作DF⊥BC于F，過F作FE∥AC，交AB于E．設(shè)CD=x，DF=y．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)四邊形AEFD為菱形時(shí)，求x的值；
（3）當(dāng)△DEF是直角三角形時(shí)，求x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),含30度角的直角三角形,勾股定理,菱形的性質(zhì)

專題：幾何動點(diǎn)問題,壓軸題,數(shù)形結(jié)合

分析：（1）由已知求出∠C=30°，列出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由四邊形AEFD為菱形，列出方程y=60-x與y=

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x組成方程組求x的值，
（3）當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，由△DEF是直角三角形，列出方程60-x=2y，與y=

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x組成方程組求x的值；當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，根據(jù)EF∥AC可知∠EDA=∠DEF=90°，所以當(dāng)△ADE∽△ABC，再由相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得出關(guān)于x的方程，再把y=

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2

x代入即可得出x的值．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30，
∴∠C=30°，
∵CD=x，DF=y．
∴y=

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x；

（2）∵四邊形AEFD為菱形，
∴AD=DF，
∴y=60-x
∴方程組

y= 1 2 x y=60-x

，
解得x=40，
∴當(dāng)x=40時(shí)，四邊形AEFD為菱形；

（3）當(dāng)△DEF是直角三角形時(shí)，只能是∠EDF=90°，
∵∠FDE=90°，FE∥AC，
∴∠EFB=∠C=30°，
∵DF⊥BC，
∴∠DEF+∠DFE=∠EFB+∠DFE，
∴∠DEF=∠EFB=30°，
∴EF=2DF，
∴60-x=2y，
與y=

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x，組成方程組，得

2y=60-x y= 1 2 x

解得x=30；
∴當(dāng)△DEF是直角三角形時(shí)，x=30．

點(diǎn)評：本題主要考查了含30°角的直角三角形與菱形的知識，解本題的關(guān)鍵是找出x與y的關(guān)系列方程組．