如圖,等邊△OAB和等邊△AFE的一邊都在x軸上,雙曲線y=
k
x
(k>0)經(jīng)過(guò)邊OB的中點(diǎn)C和AE的中點(diǎn)D,已知等邊△OAB的邊長(zhǎng)為4.
(1)求該雙曲線所表示的函數(shù)解析式;
(2)求等邊△AEF的邊長(zhǎng).
(3)若y軸上有點(diǎn)P,在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使以O(shè),B,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?若存在,直接寫出點(diǎn)Q坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
考點(diǎn):反比例函數(shù)綜合題
專題:
分析:(1)過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OA于點(diǎn)G,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值求出CG的長(zhǎng),進(jìn)而得出C點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法得出雙曲線的解析式即可;
(2)過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AF于點(diǎn)H,設(shè)AH=a,則DH=
3
a,同(1)可得出D點(diǎn)坐標(biāo),求出a的值,由此得出AD的長(zhǎng),進(jìn)而可得出結(jié)論;
(3)根據(jù)OB為邊長(zhǎng)或?qū)蔷兩種情況畫出圖形,根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出Q點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OA于點(diǎn)G,
∵點(diǎn)C是等邊△OAB的邊OB的中點(diǎn),
∴OC=2,∠AOB=60°.
∴OC=2,CG=
3

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1,
3
),由
3
=
k
1
,得k=
3

∴該雙曲線所表示的函數(shù)解析式為y=
3
x


(2)過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AF于點(diǎn)H,設(shè)AH=a,則DH=
3
a.
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4+a,
3
a).
∵點(diǎn)D是雙曲線y=
3
x
上的點(diǎn),由xy=
3
,得
3
a(4+a)=
3
,即a2+4a-1=0.
解得a1=
5
-2,a2=-
5
-2(舍去),
∴AD=2AH=2
5
-4,
∴等邊△AEF的邊長(zhǎng)是(4
5
-8).

(3)如圖所示,
∵△OAB是等邊三角形,O=4,
∴B(2,2
3
).
當(dāng)點(diǎn)Q在Q1處時(shí),
∵OB=4,
∴BQ1=4,
∴Q(2,2
3
+4);
當(dāng)點(diǎn)Q在Q2處時(shí),可知Q2(2,2
3
-4
);
當(dāng)點(diǎn)Q在Q3處時(shí),點(diǎn)Q于點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱,Q3(-2,2
3
);
當(dāng)點(diǎn)Q在Q4處時(shí),
∵B(2,2
3
),
∴直線OB的解析式為y=
3
x.
∵四邊形OQBP是菱形,
∴PQ是OB的垂直平分線且過(guò)點(diǎn)C,
∴設(shè)直線PQ的解析式為y=-
3
3
x+b,
∵C(1,
3
),
3
=-
3
3
+b,
解得b=
4
3
3
,
∴設(shè)直線PQ的解析式為y=-
3
3
x+
4
3
3

∴當(dāng)x=2時(shí),y=
2
3
3
,即Q4(2,
2
3
3
).
故Q點(diǎn)的坐標(biāo)為:(-2,2
3
),(2,2
3
+4
),(2,
2
3
3
),(2,2
3
-4
).
點(diǎn)評(píng):本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn),熟知等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵.
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(2)求CE的長(zhǎng);
(3)求△EFC的面積.

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