Question

已知如圖，以矩形OBCD的邊OB，OD為x軸、y軸建立平面直角坐標系，對角線BD、OC相交于點M，OB=4

3

，∠BOC=30°，點P是線段OB上的一個動點，過P作x軸的垂線，分別交OC、BD于點E、F．
（1）求直線BD的解析式；
（2）若點P以每秒

3

個單位的速度從點O向點B勻速運動，到達B點后停止運動，設△OEF與△BEF的面積之和為y，點P的運動時間為t秒，求y與t的函數(shù)關系式；
（3）若點Q是直線BD上的一個動點，請直接寫出△OBQ為等腰三角形點Q的坐標．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先通過解直角三角形求得OD，進而求得D的坐標，然后用待定系數(shù)法即可求得；
（2）通過三角形OBF的面積減去三角形OBE的面積求得；
（3）分兩種情況分別討論求得；

解答：解：（1）∵四邊形OBCD是矩形，∠BOC=30°，
∴∠OBD=30°，
∴直線BD的斜率為-

3

3

，
∵OB=4

3

，
∴OD=tan∠OBD•OB=4，
∴OD=OC=4，
∴B（4

3

，0），C（4

3

，4），D（0，4），
∴直線BD的解析式為y=-

3

3

x+4，

（2）∵∠BOC=30°，
∴直線OC的斜率為

3

3

，
∴直線OC的解析式為y=

3

3

x，
設E（

3

t，t），F(xiàn)（

3

t，-t+4），則PE=t，PF=-t+4，
∴y=

1

2

OB•PF-

1

2

OB•PE=

1

2

×4

3

×（-t+4）-

1

2

×4

3

×t=-4

3

t+8

3

，
即y=-4

3

t+8

3

；

（3）設Q（m，-

3

3

m+4），
當OB=BQ時，
∵B（4

3

，0），
∴BQ²=（4

3

-m）²+（-

3

3

m+4）²，
∴（4

3

）²=（4

3

-m）²+（-

3

3

m+4）²，解得：m=4

3

-6，m=4

3

+6（舍去），
當OQ=BQ時，
∵OQ²=m²+（-

3

3

m+4）²，
∴m²+（-

3

3

m+4）²=（4

3

-m）²+（-

3

3

m+4）²，解得：m=2

3

；
所以△OBQ為等腰三角形時點Q的坐標為（4

3

-6，2

3

）或（2

3

，2）；

點評：本題是一次函數(shù)的綜合圖，應用的知識點：待定系數(shù)法，解直角三角形，等腰三角形的判定，三角形的面積以及分類討論思想的運用等；