【題目】(2016寧夏第26題)在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,動點Q從點A出發(fā),以每秒1個單位的速度,沿AB向點B移動;同時點P從點B出發(fā),仍以每秒1個單位的速度,沿BC向點C移動,連接QP,QD,PD.若兩個點同時運動的時間為x秒(0<x≤3),解答下列問題:
(1)設(shè)△QPD的面積為S,用含x的函數(shù)關(guān)系式表示S;當(dāng)x為何值時,S有最大值?并求出最小值;
(2)是否存在x的值,使得QP⊥DP?試說明理由.
【答案】(1)、S=(x﹣2)2+4;x=2,最小值為4;(2)、存在,理由見解析.
【解析】
試題分析:(1)、可用x表示出AQ、BQ、BP、CP,從而可表示出S△ADQ、S△BPQ、S△PCD的面積,則可表示出S,再利用二次函數(shù)的增減性可求得是否有最大值,并能求得其最小值;(2)、用x表示出BQ、BP、PC,當(dāng)QP⊥DP時,可證明△BPQ∽△CDP,利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于x的方程,可求得x的值.
試題解析:(1)、∵四邊形ABCD為矩形, ∴BC=AD=4,CD=AB=3, 當(dāng)運動x秒時,則AQ=x,BP=x,
∴BQ=AB﹣AQ=3﹣x,CP=BC﹣BP=4﹣x,
∴S△ADQ=ADAQ=×4x=2x,S△BPQ=BQBP=(3﹣x)x=x﹣x2,S△PCD=PCCD=(4﹣x)3=6﹣x,
又S矩形ABCD=ABBC=3×4=12,
∴S=S矩形ABCD﹣S△ADQ﹣S△BPQ﹣S△PCD=12﹣2x﹣(x﹣x2)﹣(6﹣x)=x2﹣2x+6=(x﹣2)2+4,
即S=(x﹣2)2+4, ∴S為開口向上的二次函數(shù),且對稱軸為x=2,
∴當(dāng)0<x<2時,S隨x的增大而減小,當(dāng)2<x≤3時,S隨x的增大而增大,
又當(dāng)x=0時,S=5,當(dāng)S=3時,S=,但x的范圍內(nèi)取不到x=0,
∴S不存在最大值,當(dāng)x=2時,S有最小值,最小值為4;
(2)、存在,理由如下:
由(1)可知BQ=3﹣x,BP=x,CP=4﹣x, 當(dāng)QP⊥DP時,則∠BPQ+∠DPC=∠DPC+∠PDC,
∴∠BPQ=∠PDC,且∠B=∠C, ∴△BPQ∽△PCD,
∴=,即=,解得x=(舍去)或x=,
∴當(dāng)x=時QP⊥DP.
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【題目】a為不超過1.5的正整數(shù),b為不超過2.5的非負(fù)整數(shù),而為最簡分?jǐn)?shù),求的值.
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【題目】如圖,已知直線AB、CD被直線EF所截,FG平分∠EFD,∠1=∠2=80°,求∠BGF的度數(shù).
解:因為∠1=∠2=80°(已知),
所以AB∥CD__________
所以∠BGF+∠3=180°__________
因為∠2+∠EFD=180°(鄰補角的性質(zhì)).
所以∠EFD=________.(等式性質(zhì)).
因為FG平分∠EFD(已知).
所以∠3=________∠EFD(角平分線的性質(zhì)).
所以∠3=________.(等式性質(zhì)).
所以∠BGF=________.(等式性質(zhì)).
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【題目】(2016浙江省舟山市第24題)小明的爸爸和媽媽分別駕車從家同時出發(fā)去上班,爸爸行駛到甲處時,看到前面路口時紅燈,他立即剎車減速并在乙處停車等待,爸爸駕車從家到乙處的過程中,速度v(m/s)與時間t(s)的關(guān)系如圖1中的實線所示,行駛路程s(m)與時間t(s)的關(guān)系如圖2所示,在加速過程中,s與t滿足表達(dá)式s=at2
(1)根據(jù)圖中的信息,寫出小明家到乙處的路程,并求a的值;
(2)求圖2中A點的縱坐標(biāo)h,并說明它的實際意義;
(3)爸爸在乙處等代理7秒后綠燈亮起繼續(xù)前行,為了節(jié)約能源,減少剎車,媽媽駕車從家出發(fā)的行駛過程中,速度v(m/s)與時間t(s)的關(guān)系如圖1中的折線O﹣B﹣C所示,行駛路程s(m)與時間t(s)的關(guān)系也滿足s=at2,當(dāng)她行駛到甲處時,前方的綠燈剛好亮起,求此時媽媽駕車的行駛速度.
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【題目】下列說法:①平角就是一條直線;②直線比射線線長;③平面內(nèi)三條互不重合的直線的公共點個數(shù)有0個、1個、2個或3個;④連接兩點的線段叫兩點之間的距離;⑤兩條射線組成的圖形叫做角;⑥一條射線把一個角分成兩個角,這條射線是這個角的角平分線,其中正確的有( )
A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個
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