Question

9．如圖，直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，BC=2AD，點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形AECD為平行四邊形；
（2）在CD邊上取一點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AF、AC、EF，設(shè)AC與EF交于點(diǎn)G，且∠EAF=∠CAD．求證：△AEC∽△ADF；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)∠ECA=45°時(shí)．求：FG：EG的比值．

Answer 1

分析 （1）由E為BC中點(diǎn)，得到BC=2CE，再由BC=2AD，得到CE=AD，再由AD與CE平行，利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形即可得證；
（2）由四邊形AECD為平行四邊形，得到對(duì)角相等，再由已知角相等，利用兩對(duì)角相等的三角形相似即可得證；
（3）設(shè)AD=BE=CE=a，由∠ECA=45°，得到△ABC為等腰直角三角形，即AB=BC=2a，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理表示出AE，由三角形AEC與三角形ADF相似得比例，表示出DF．由CD-DF表示出CF，再由AE與DC平行得比例，即可求出所求式子之比．

解答 解：（1）∵BC=2AD，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，
∴BC=2CE，
∴AD=CE，
∵AD∥CE，
∴四邊形AECD為平行四邊形；
（2）∵四邊形AECD為平行四邊形，
∴∠D=∠AEC，
∵∠EAF=∠CAD，
∴∠EAC=∠DAF，
∴△AEC∽△ADF，
（3）設(shè)AD=BE=CE=a，由∠ECA=45°，得到△ABC為等腰直角三角形，即AB=BC=2a，
∴在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得：AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
∵△AEC∽△ADF，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{EC}{DF}$，即$\frac{\sqrt{5}a}{a}$=$\frac{a}{DF}$，
∴DF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，
∴CF=CD-DF=$\sqrt{5}$a-$\frac{\sqrt{5}}{5}$a=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$a，
∵AE∥DC，
∴$\frac{FG}{EG}$=$\frac{FC}{AE}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{5}a}$=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識(shí)有：平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及判定是解本題的關(guān)鍵．