Question

【題目】邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)正方形ABCO、ADEF如圖擺放，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上，ED交線段OC于點(diǎn)G，ED的延長(zhǎng)線交線段BC于點(diǎn)P，連AG，已知OA長(zhǎng)為.

（1）求證：;

（2）若，AG=2，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（3）在（2）條件下，在直線PE上找點(diǎn)M，使以M、A、G為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）M坐標(biāo)為或（．

【解析】

（1）由AO＝AD，AG＝AG，根據(jù)斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，判斷出即可；

（2）在中，由，，根據(jù)勾股定理求出OG的長(zhǎng)，即可求出點(diǎn)G坐標(biāo)；

（3）根據(jù)題意，分兩種情況：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在 y軸的負(fù)半軸上時(shí)；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在GP延長(zhǎng)線上時(shí)，作GH⊥AB于點(diǎn)H，通過全等三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可得出點(diǎn)M為所求的點(diǎn)，再結(jié)合點(diǎn)A、點(diǎn)G的坐標(biāo)即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（1）證明：在Rt△AOG和Rt△ADG中，

∴△AOG≌△ADG（HL）．

（2）解：∵在中，，，

∴,

∴G點(diǎn)坐標(biāo)為．

（3）①如圖1，延長(zhǎng)GE交軸于點(diǎn)M，
∵△AOG≌△ADG，
∴，

又∵，，

∴，

∵，

∴,

在△AOG和△MOG中，

∴，

∴AG＝MG，

∴△AGM為等腰三角形，

∵點(diǎn)A坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為．

②如圖2，延長(zhǎng)GP與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，作GH⊥AB于點(diǎn)H．

∵，
∴，
∴；

∴，

∴為等邊三角形，

∴GH垂直平分線AM．

∵，，

∴，

∴點(diǎn)M坐標(biāo)為．
綜上可得點(diǎn)M坐標(biāo)為或．