Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，當(dāng)點(diǎn)P在矩形ABCD的對(duì)角線上時(shí)，AN的長度為_____．

Answer 1

【答案】或．

【解析】

分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)P落在BD上時(shí)，由折疊的性質(zhì)可得AM=MP=BM，AN=NP，可證∠APB=90°，由余角的性質(zhì)可得∠NPD=∠ADP，可得AN=NP=DN=；當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，通過證明△MAN∽△CBA，利用對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解．

當(dāng)點(diǎn)P落在BD上時(shí)，如圖，

∵點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，

∴AM＝BM＝AB＝1，

∵將△AMN沿MN折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，

∴AM＝MP，AN＝NP，

∴AM＝MP＝BM＝1，∠NAP＝∠NPA，

∴∠APB＝90°，

∴∠NAP+∠ADP＝90°，∠APN+∠NPD＝90°，

∴∠NPD＝∠ADP，

∴AN＝ND，

∴AN＝NP＝DN＝AD＝；

若點(diǎn)P落在AC上時(shí)，連接AC交MN于點(diǎn)H，如圖，

∵將△AMN沿MN折疊，

∴AC⊥MN，

∵∠ABC+∠BCH+∠CHM+∠BMH＝360°，

∴∠BMH+∠BCH＝180°，

又∵∠AMN+∠BCH＝180°，

∴∠AMN＝∠BCH，

又∵∠MAN＝∠CBA＝90°，

∴△MAN∽△CBA，

∴，

∴AN＝，

故答案為：或．