Question

如圖，在?ABCD中，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，∠BMC=90°，連接AN，DN，AN與BM交于點(diǎn)O．
（1）求證：△ABM≌△CDN；
（2）點(diǎn)P在直線BM上，若BM=3，CM=4，求△PND的周長的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：（1）利用平行四邊形的性質(zhì)首先得出AB=CD，AM=CN，進(jìn)而得出△ABM≌△CDN；
（2）首先得出平行四邊形ABNM為菱形，進(jìn)而得出當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)M時(shí)，NP+DP取到最小值為AD，利用勾股定理求出即可．

解答：（1）證明：∵在?ABCD中，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，
∴AB=CD，
在△ABM和△CDN中，

AB=CD ∠BAM=∠DCM AM=CN

，
∴△ABM≌△CDN（SAS）；

（2）解：∵在?ABCD中，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，
∴AM∥BN，AM=NB，
∴四邊形ABNM為平行四邊形；
在Rt△BCM中，N為BC中點(diǎn)，
∴MN=BN，
∴平行四邊形ABNM為菱形．
∴BM垂直平分AN，
∴點(diǎn)N關(guān)于BM的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A．
∴當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)M時(shí)，NP+DP取到最小值為AD．
在Rt△BCM中，BM=3，CM=4，
由勾股定理得BC=AD=5，
又由（1）知，BM=DN=3，
∴△PND的周長的最小值：5+3=8．

點(diǎn)評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形和菱形的性質(zhì)，得出當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)M時(shí)，NP+DP取到最小值為AD是解題關(guān)鍵．