Question

如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點，且PA=6，PB=8，PC=10．若將△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB．
（1）求點P與點P′之間的距離；
（2）∠APB的度數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB，可得△PAC≌△P′AB，PA=P'A，旋轉(zhuǎn)角∠P'AP=∠BAC=60°，∴△APP'為等邊三角形，即可求得PP'；
（2）由△APP'為等邊三角形，得∠APP'=60°，在△PP'B中，已知三邊，用勾股定理逆定理證出直角三角形，得出∠P'PB=90°，可求∠APB的度數(shù)．
解答：解：（1）連接PP′，由題意可知BP′=PC=10，AP′=AP，
∠PAC=∠P′AB，而∠PAC+∠BAP=60°，
所以∠PAP′=60度．故△APP′為等邊三角形，
所以PP′=AP=AP′=6；

（2）利用勾股定理的逆定理可知：
PP′²+BP²=BP′²，所以△BPP′為直角三角形，且∠BPP′=90°
可求∠APB=90°+60°=150°．
點評：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．