Question

【題目】在中，，，，于點(diǎn)H，點(diǎn)D在AH上，且，連接BD．

如圖1，將繞點(diǎn)H旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)B、D分別與點(diǎn)E、F對(duì)應(yīng)，連接AE，當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)不與C重合，求AE的長(zhǎng)；

如圖2，是由繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，射線CF與AE相交于點(diǎn)G，連接GH，試探究線段GH與EF之間滿足的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)(I)AE=;(II).

【解析】

（1）先根據(jù)tanC＝3，求出AH＝3，CH＝1，然后根據(jù)△EHA∽△FHC，得到，HP＝3AP，AE＝2AP，最后用勾股定理即可；

（2）先判斷出△AGQ∽△CHQ，得到，然后判斷出△AQC∽△GQH，用相似比即可．

(1)如圖，

在Rt△AHC中，

∵tanC＝3，

∴＝3，

設(shè)CH＝x，

∴BH＝AH＝3x，

∵BC＝4，

∴3x+x＝4，

∴x＝1，

∴AH＝3，CH＝1，

由旋轉(zhuǎn)知，∠EHF＝∠BHD＝∠AHC＝90°，EH＝AH＝3，CH＝DH＝FH，

∴∠EHF+∠AHF＝∠AHC+∠AHF，

∴∠EHA＝∠FHC，=1，

∴△EHA∽△FHC，

∴∠EAH＝∠C，

∴tan∠EAH＝tanC＝3，

過(guò)點(diǎn)H作HP⊥AE，

∴HP＝3AP，AE＝2AP，

在Rt△AHP中，AP2+HP2＝AH2，

∴AP2+(3AP)2＝9，

∴AP＝，

∴AE＝；

(2)如圖1，

∵△EHF是由△BHD繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到，

∴HD＝HF，∠AHF＝30°

∴∠CHF＝90°+30°＝120°，

由(1)有，△AEH和△FHC都為等腰三角形，

∴∠GAH＝∠HCG＝30°，

∴CG⊥AE，

∴點(diǎn)C，H，G，A四點(diǎn)共圓，

∴∠CGH＝∠CAH，

設(shè)CG與AH交于點(diǎn)Q，

∵∠AQC＝∠GQH，

∴△AQC∽△GQH，

∴，

∵△EHF是由△BHD繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到，

∴EF＝BD，

由(1)知，BD＝AC，

∴EF＝AC

∴＝2，

即：EF＝2HG，