Question

【題目】如圖，點A是直線AM與⊙O的交點，點B在⊙O上，BD⊥AM，垂足為D，BD與⊙O交于點C，OC平分∠AOB，∠B＝60°．

（1）求證：AM是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為4，求圖中陰影部分的面積（結果保留π和根號）．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）

【解析】

（1）根據題意，可得△BOC的等邊三角形，進而可得∠BCO＝∠BOC，根據角平分線的性質，可證得BD∥OA，根據∠BDM＝90°，進而得到∠OAM＝90°，即可得證；

（2）連接AC，利用△AOC是等邊三角形，求得∠OAC＝60°，可得∠CAD＝30°，在直角三角形中，求出CD、AD的長，則S陰影＝S梯形OADC﹣S扇形OAC即可得解．

（1）證明：∵∠B＝60°，OB＝OC，

∴△BOC是等邊三角形，

∴∠1＝∠3＝60°，

∵OC平分∠AOB，

∴∠1＝∠2，

∴∠2＝∠3，

∴OA∥BD，

∵∠BDM＝90°，

∴∠OAM＝90°，

又OA為⊙O的半徑，

∴AM是⊙O的切線

（2）解：連接AC，

∵∠3＝60°，OA＝OC，

∴△AOC是等邊三角形，

∴∠OAC＝60°，

∴∠CAD＝30°，

∵OC＝AC＝4，

∴CD＝2，

∴AD＝2 ，

∴S陰影＝S梯形OADC﹣S扇形OAC＝ ×（4+2）×2﹣．