Question

20．如圖，已知直線(xiàn)y=kx+6與拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A（1，4）為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）在（1）中拋物線(xiàn)的第三象限圖象上是否存在一點(diǎn)P，使△POB與△POC全等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)，且△ABQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；
（2）先確定出點(diǎn)C坐標(biāo)，再由△POB≌△POC建立方程，求解即可，
（3）分三種情況計(jì)算，分別判斷△DAQ₁∽△DOB，△BOQ₂∽△DOB，△BOQ₃∽△Q₃EA，列出比例式建立方程求解即可．

解答 解：（1）把A（1，4）代入y=kx+6，
∴k=-2，
∴y=-2x+6，
由y=-2x+6=0，得x=3
∴B（3，0）．
∵A為頂點(diǎn)
∴設(shè)拋物線(xiàn)的解析為y=a（x-1）²+4，
∴a=-1，
∴y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3      
（2）存在．
當(dāng)x=0時(shí)y=-x²+2x+3=3，
∴C（0，3）
∵OB=OC=3，OP=OP，
∴當(dāng)∠POB=∠POC時(shí)，△POB≌△POC，
作PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，
∴∠POM=∠PON=45°．
∴PM=PN      
∴設(shè)P（m，m），則m=-m²+2m+3，
∴m=$\frac{{1±\sqrt{13}}}{2}$，
∵點(diǎn)P在第三象限，
∴P（$\frac{{1-\sqrt{13}}}{2}$，$\frac{{1-\sqrt{13}}}{2}$）．   
（3）①如圖，當(dāng)∠Q₁AB=90°時(shí)，作AE⊥y軸于E，
∴E（0，4）
∵∠DA Q₁=∠DOB=90°，∠AD Q₁=∠BDO
∴△DAQ₁∽△DOB，
∴$\frac{AD}{OD}=\frac{{D{Q_1}}}{DB}$，即$\frac{{\sqrt{{1^2}+{{（6-4）}^2}}}}{6}=\frac{{D{Q_1}}}{{\sqrt{{3^2}+{6^2}}}}$，
∴DQ₁=$\frac{5}{2}$，
∴OQ₁=$\frac{7}{2}$，
∴Q₁（0，$\frac{7}{2}$）；     
②如圖，
當(dāng)∠Q₂BA=90°時(shí)，∠DBO+∠OBQ₂=∠OBQ₂+∠O Q₂B=90°
∴∠DBO=∠O Q₂B
∵∠DOB=∠B O Q₂=90°
∴△BOQ₂∽△DOB，
∴$\frac{OB}{OD}=\frac{{O{Q_2}}}{OB}$，
∴$\frac{3}{6}=\frac{{O{Q_2}}}{3}$，
∴OQ₂=$\frac{3}{2}$，
∴Q₂（0，$-\frac{3}{2}$）；     
③如圖，當(dāng)∠AQ₃B=90°時(shí)，∠AEQ₃=∠BOQ₃=90°，
∴∠AQ₃E+∠E AQ₃=∠AQ₃E+∠B Q₃O=90°
∴∠E AQ₃=∠B Q₃O
∴△BOQ₃∽△Q₃EA，
∴$\frac{OB}{{{Q_3}E}}=\frac{{O{Q_3}}}{AE}$，即$\frac{3}{{4-O{Q_3}}}=\frac{{O{Q_3}}}{1}$，
∴OQ₃²-4OQ₃+3=0，
∴OQ₃=1或3，
∴Q₃（0，1）或（0，3）．      
綜上，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{7}{2}$）或（0，$-\frac{3}{2}$）或（0，1）或（0，3）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，全等三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是判斷三角形相似．