Question

17．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，與DC交于點(diǎn)F．
（1）求證：CD=BE；
（2）若AB=4，點(diǎn)F為DC的中點(diǎn)，DG⊥AE，垂足為G，且DG=1，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線證出∠BAE=∠E．得出AB=BE，即可得出結(jié)論；
（2）同（1）證出DA=DF，由F為DC中點(diǎn)，AB=CD，求出AD與DF的長(zhǎng)，得出三角形ADF為等腰三角形，根據(jù)三線合一得到G為AF中點(diǎn)，在直角三角形ADG中，由AD與DG的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AG的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AF的長(zhǎng)，再由三角形ADF與三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：∵AE為∠ADB的平分線，
∴∠DAE=∠BAE．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，CD=AB．
∴∠DAE=∠E．
∴∠BAE=∠E．
∴AB=BE．
∴CD=BE．
（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD∥AB，
∴∠BAF=∠DFA．
∴∠DAF=∠DFA．
∴DA=DF．
∵F為DC的中點(diǎn)，AB=4，
∴DF=CF=DA=2．
∵DG⊥AE，DG=1，
∴AG=GF．
∴AG=$\sqrt{3}$．
∴AF=2AG=2$\sqrt{3}$．
在△ADF和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠E}&{\;}\\{∠ADF=∠ECF}&{\;}\\{DF=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ECF（AAS）．
∴AF=EF，
∴AE=2AF=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題（2）的關(guān)鍵．