Question

7．已知，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），連接AD，以AD為邊作菱形ADEF，且∠DAF=∠BAC=α，連接CF，如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，我們易得CF、BC、CD三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為：CF+CD=BC．
（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，其他條件不變，請?zhí)骄緾F、BC、CD三條線段之間的數(shù)量關(guān)系并證明；
（2）如圖3，當(dāng)α=90°時(shí)，點(diǎn)D在線段BC的反向延長線上，且點(diǎn)A、F分別在直線BC的兩側(cè)，其他條件不變；
①請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的數(shù)量關(guān)系；
②若菱形ADEF的邊長為$\sqrt{2}$，對角線AE、DF相交于點(diǎn)O，連接OC，求OC的長．

Answer 1

分析 （1）由∠DAF=∠BAC，得到∠BAD=∠CAF，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD=AF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=BD，等量代換得到結(jié)論；
（2）①根據(jù)已知條件得到∠BAD=∠CAF，由四邊形ADEF是菱形，得到AD=AF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=BD，等量代換得到②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADC=∠AFC，推出A，D，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，由圓周角定理得到∠DCF=∠DAF=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）CF=BC+CD；理由：
∵∠DAF=∠BAC，
∴∠DAF+∠DAC=∠BAC+∠CAD，
即∠BAD=∠CAF，
∵四邊形ADEF是菱形，
∴AD=AF，
在△ABD與△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF，
∴CF=BD，
∵BD=BC+CD，
∴CF=BC+CD；

（2）①CF=CD-BC，
理由：∵∠DAF=∠BAC，
∴∠DAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF，
即∠BAD=∠CAF，
∵四邊形ADEF是菱形，
∴AD=AF，
在△ABD與△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF，
∴CF=BD，
∵BD=CD-BC，
∴CF=CD-BC；
②∵△ABD≌△ACF，
∴∠ADC=∠AFC，
∴A，D，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，
∴∠DCF=∠DAF=90°，
∵四邊形ADEF是菱形，∠DAF=90°，
∴四邊形ADEF正方形，
∴DF=$\sqrt{2}$AD=2，OD=OF，
∴OC=$\frac{1}{2}$DF=1．

點(diǎn)評 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．