Question

2．如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，動點P從B點出發(fā)，沿線段BC向點C作勻速運動；動點Q從點D出發(fā)，沿線段DA向點A作勻速運動．過Q點垂直于AD的射線交AC于點M，交BC于點N．P、Q兩點同時出發(fā)，速度為每秒1個單位長度，當Q點運動到A點，P、Q兩點同時停止運動，設(shè)點Q運動的時間為t秒．
（1）當t為何值時，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形？
（2）試用含t的代數(shù)式分別表示NC與MN的長度．
（3）若設(shè)PMC的面積為S，試求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等得到PC=DQ，列出方程4-t=t即解；
（2）依據(jù)題意易知四邊形ABNQ是矩形，所以NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解，然后在直角三角形ABC中，由AB與BC的長根據(jù)勾股定理可求CA=5，從而得到cos∠NCM=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{4}{5}$，而cos∠NCM也等于$\frac{NC}{MC}$，最后把表示出的CN代入即可表示出CM，再利用勾股定理求出MN，即可解答；
（3）根據(jù)題意求出CP=4-t，根據(jù)△PMC的面積為：S=$\frac{1}{2}CP•MN$，即可解答．

解答 解：（1）由于四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形，
∴PC=QD，即4-t=t，
解得t=2，
則當t=2時，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形；
（2）∵AQ=3-t，
∴CN=4-（3-t）=1+t，
在Rt△ABC中，AC²=AB²+BC²=3²+4²，
∴AC=5，
在Rt△MNC中，cos∠NCM=$\frac{NC}{MC}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{4}{5}$，CN=1+t，
∴CM=$\frac{CN}{cos∠NCM}$=$\frac{1+t}{\frac{4}{5}}$=$\frac{5+5t}{4}$；
∴MN=$\sqrt{C{M}^{2}-C{N}^{2}}$=$\frac{3}{4}$（1+t），
（3）CP=4-t，
則△PMC的面積為：S=$\frac{1}{2}CP•MN$=$\frac{1}{2}$（4-t）$•\frac{3}{4}$（1+t）=-$\frac{3}{8}{t}^{2}+\frac{9}{8}t+\frac{3}{2}$（0＜t≤3）．

點評 此題考查了直角梯形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及三角形的面積，是一道探究型的題，解答此類題時，可采用逆向思維的方法，視結(jié)論為題設(shè)，多角度，多側(cè)面去探尋滿足題意的值，要求學(xué)生把所學(xué)的知識融匯貫穿，靈活運用，采用數(shù)形結(jié)合的思想來解決問題．