Question

如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC，BC為邊，在△ABC外作兩個(gè)等邊三角形△ACE和△BCF，連結(jié)BE，AF．   
①求證：BE=AF；   
②∠BOF=

 

°，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：①利用等邊三角形的性質(zhì)得到相等的邊和角，CE=AC，CF=CB，∠ACF=∠ECB=90°+60°=150°，從而判定△CEB≌△ACF得到BE=AF．
②首先通過△CEB≌△CAF得到∠AFC=∠EBC，再根據(jù)三角形的內(nèi)角等于與它不相鄰的兩個(gè)外角的和可得∠AOB=∠AFB+∠FBE=∠AFB+∠CBF+∠EBC，再利用等量代換用∠AFC換∠EBC可得到∠AOB=∠CBF+∠CFB=120°，再用180°-∠AOB即可．

解答：證明①∵△ACE和△BCF是等邊三角形，
∴∠ACE=∠FCB=∠CBF=60°，CE=AC，CF=CB，
∴∠ACF=∠ECB=60°+∠ACB．
在△CEB與△CAF中，

CE=CA ∠ECB=∠ACF CB=CF

，
∴△CEB≌△CAF（SAS），
∴BE=AF，
②∵△CEB≌△CAF
∴∠AFC=∠EBC，
∵∠AOB=∠AFB+∠FBE，
∴∠AOB=∠AFB+∠CBF+∠EBC=∠AFB+∠CBF+∠AFC=∠CBF+∠CFB=60°+60°=120°，
∴∠BOF=180°-∠AOB=60°．
故答案為：60°．

點(diǎn)評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵是證明∠AFC=∠EBC，找到∠AOB=∠AFB+∠FBE；