Question

 在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為（0°＜＜180°），得到△A′B′C．

（1）如圖（1），當(dāng)AB∥CB′時(shí)，設(shè)A′B′與CB相交于點(diǎn)D．證明：△A′CD是等邊三角形；

（2）如圖（2），連接A′A、B′B，設(shè)△ACA′ 和△BCB′ 的面積分別為S_△ACA′ 和S_△BCB′．求證：S_△ACA′ ：S_△BCB′ =1：3；

 

Answer 1

【答案】

證明過程見解析

【解析】（1）∵AB∥CB′，∴∠B=∠BC B′=30°，∴∠A′CD=60°，

又∵∠A′=60°，∴∠A′CD=∠A′=∠A′DC=60°，∴△A′CD是等邊三角形；…………4分

        （2）∵AC=A′C，BC=B′C，∴  又∵∠ACA′=∠BCB′，

∴△ACA′∽△BCB′，…………6分

∵相似比為，

∴S_△ACA′ ：S_△BCB′ =1：3；…………8分

（1）當(dāng)AB∥CB₁時(shí)，∠BCB₁=∠B=∠B₁=30°，則∠A₁CD=90°-∠BCB₁=60°，∠A₁DC=∠BCB₁+∠B₁=60°，可證：△A₁CD是等邊三角形；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證△ACA₁和△BCB₁，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解；