Question

3．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，3），且當(dāng)x=1時(shí)，y有最小值2．
（1）求a，b，c的值；
（2）設(shè)二次函數(shù)y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）
①若二次函數(shù)y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₁，x₂滿足$\left|{{x_1}-{x_2}}\right|=2\sqrt{3}$，求k的值；
②請(qǐng)?jiān)诙�次函�?shù)y=ax²+bx+c與y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）的圖象上各找一個(gè)點(diǎn)M、N，且不論k為何值，這兩個(gè)點(diǎn)始終關(guān)于x軸對(duì)稱，求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方）．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式中的字母a，b，c，
（2）①先化簡(jiǎn)拋物線y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）的解析式，再用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x₁+x₂=2（k+1），x₁•x₂=3-2k，最后用$\left|{{x_1}-{x_2}}\right|=2\sqrt{3}$建立方程求解即可．
②先設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，而點(diǎn)M，N關(guān)于x軸對(duì)稱表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，對(duì)稱點(diǎn)的特點(diǎn)縱坐標(biāo)互為相反數(shù)建立方程，得出（m+1）k=0，而不論k為何值，這兩個(gè)點(diǎn)始終關(guān)于x軸對(duì)稱，則有m+1=0，確定出m，最后得出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{3=c}\\{-\frac{2a}=1}\\{a+b+c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴a的值為1，b的值為-2，c的值為3．
（2）①∵a=1，b=-2，c=3，
∴y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）=-x²+2（k+1）x+2k-3，
∵二次函數(shù)y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2（k+1），x₁•x₂=3-2k，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{4（k+1）^{2}-4（3-2k）}$=2$\sqrt{3}$，
解得：k=1或k=-5；
②∵a=1，b=-2，c=3，
∴y=x²-2x+3和y=-x²+2（k+1）x+2k-3，
設(shè)M（m，m²-2m+3），
∵點(diǎn)M，N始終關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴N（m，-m²+2（k+1）m+2k-3）
m²-2m+3=-（-m²+2（k+1）m+2k-3），
∴（m+1）k=0
∵不論k為何值，點(diǎn)M，N始終關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴m+1=0，
∴m=-1，
∴M（-1，6），N（-1，6）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)稱點(diǎn)的特點(diǎn)，解本題的關(guān)鍵是會(huì)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解決問題和無論k為何值，點(diǎn)M，N始終關(guān)于x軸對(duì)稱，只有k的系數(shù)為零，常數(shù)為零，也是解本題的難點(diǎn)．