【題目】如圖,已知△ACB中,∠ACB=90°,CE是△ACB的中線,分別過點A、點C作CE和AB的平行線,交于點D.
(1)求證:四邊形ADCE是菱形;
(2)若CE=4,且∠DAE=60°,求△ACB的面積.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】(1)由AD//CE,CD//AE ,得四邊形AECD為平行四邊形,根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì),得CE=AE,可知四邊形ADCE是菱形;(2)由(1)可知,當(dāng)∠DAE=60°時,∠CAE=30°,可求AB,再根據(jù)三角函數(shù)求AC,BC,最后求面積.
(1)證明:∵AD//CE,CD//AE
∴四邊形AECD為平行四邊形
∵∠ACB=90°,CE是△ACB的中線
∴CE=AE
∴四邊形ADCE是菱形
(2)解:∵CE=4,AE= CE=EB
∴AB=8,AE=4
∵四邊形ADCE是菱形,∠DAE=60°
∴∠CAE=30°
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°, AB=8
,
∴AC =
∴
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD⊥CD,BC⊥CD,E為CD的中點,連接AE,BE,BE⊥AE,延長AE交BC的延長線于點F。
證明:(1)FC=AD;
(2)AB=BC+AD。
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【題目】如圖,已知點D、F、E、G都在△ABC的邊上,EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70°,求∠AGD的度數(shù).(請在下面的空格處填寫理由或數(shù)學(xué)式)
解:∵EF∥AD,(已知)
∴∠2= ( )
∵∠1=∠2,(已知)
∴∠1= ( )
∴ ∥ ,( )
∴∠AGD+ =180°,(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補)
∵ ,(已知)
∴∠AGD= (等式性質(zhì))
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【題目】如圖,△ABC中,AB=8,AC=6,BC=5,∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O,過O點作DE∥BC,則△ADE的周長為__.
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【題目】某運輸部門規(guī)定:辦理托運,當(dāng)一種物品的重量不超過16千克時,需付基礎(chǔ)費30元和保險費a元:為限制過重物品的托運,當(dāng)一件物品超過16千克時,除了付以上基礎(chǔ)費和保險費外,超過部分每千克還需付b元超重費.設(shè)某件物品的重量為x千克.
(1)當(dāng)x≤16時,支付費用為__________________元(用含a的代數(shù)式表示);
當(dāng)x≥16時,支付費用為_________________元(用含x和a、b的代數(shù)式表示);
(2)甲、乙兩人各托運一件物品,物品重量和支付費用如下表所示
物品重量(千克) | 支付費用(元) |
18 | 39 |
25 | 53 |
試根據(jù)以上提供的信息確定a,b的值.
(3)根據(jù)這個規(guī)定,若丙要托運一件超過16千克的物品,但支付的費用不想超過70元,那么丙托運的物品最多是多少千克.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線,與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)).
(1)求點A和點B的坐標(biāo);
(2)若點P(m,n)是拋物線上的一點,過點P作x軸的垂線,垂足為點D.
①在的條件下,當(dāng)時,n的取值范圍是,求拋物線的表達式;
②若D點坐標(biāo)(4,0),當(dāng)時,求a的取值范圍.
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【題目】某水庫大壩的橫截面是如圖所示的四邊形ABCD,其中AB∥CD.大壩頂上有一瞭望臺PC,PC正前方有兩艘漁船M,N.觀察員在瞭望臺頂端P處觀測到漁船M的俯角α為31°,漁船N的俯角β為45°.已知MN所在直線與PC所在直線垂直,垂足為E,且PE長為30米.
(1)求兩漁船M,N之間的距離(結(jié)果精確到1米).
(2)已知壩高24米,壩長100米,背水坡AD的坡度i=1∶0.25.為提高大壩防洪能力,請施工隊將大壩的背水坡通過填筑土石方進行加固,壩底BA加寬后變?yōu)?/span>BH,加固后背水坡DH的坡度i=1∶1.75.施工隊施工10天后,為盡快完成加固任務(wù),施工隊增加了機械設(shè)備.工作效率提高到原來的2倍,結(jié)果比原計劃提前20天完成加固任務(wù),施工隊原計劃平均每天填筑土石方多少立方米?
(參考數(shù)據(jù):tan 31°≈0.60,sin 31°≈0.52)
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【題目】閱讀下面的材料,解答后面給出的問題:
兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘,如果它們的積不含有二次根式,我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式,例如與,+1與-1.
(1)請你再寫出兩個含有二次根式的代數(shù)式,使它們互為有理化因式:__________________;
這樣,化簡一個分母含有二次根式的式子時,采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了,例如:,.
(2)請仿照上面給出的方法化簡:;
(3)計算:.
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