Question

【題目】已知圓E：（x+ ）2+y2=16，點(diǎn)F（ ，0），P是圓E上任意一點(diǎn)，線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．（Ⅰ）求動點(diǎn)Q的軌跡E的方程； （Ⅱ）直線l過點(diǎn)（1，1），且與軌跡Γ交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M滿足 = ，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，延長線段OM與軌跡Γ交于點(diǎn)R，四邊形OARB能否為平行四邊形？若能，求出此時(shí)直線l的方程，若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）∵|QE|+|QF|=|EQ|+|QP|=4，且|EF|=2 ＜4， ∴點(diǎn)Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓，
設(shè)橢圓方程為 =1，則2a=4，c= ，∴a=2，b= =1．
所以點(diǎn)E的軌跡方程為： +y2=1．
（II）（1）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l的方程為x=1，顯然四邊形OARB是平行四邊形；（2）當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l：y=kx+m，顯然k≠0，m≠0，
設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（xM ， yM）．
聯(lián)立方程組 ，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
∴x1+x2=﹣ ，
∵ = ，即M是AB的中點(diǎn)，
∴xM= =﹣ ，yM=kxM+m= ，
若四邊形OARB是平行四邊形，當(dāng)且僅當(dāng)AB，OR互相平分，
∴R（﹣ ， ），
代入橢圓方程得： + =1，即16k2m2+4m2=16k4+8k2+1，
又直線l：y=kx+m經(jīng)過點(diǎn)（1，1），∴m=1﹣k，
∴16k2（1﹣k）2+4（1﹣k）2=16k4+8k2+1，
∴32k3﹣12k2+8k﹣3=0，即（4k2+1）（8k﹣3）=0．
∴k= ，m= ，
∴直線l的方程為y= x+ 時(shí)，四邊形OARB是平行四邊形，
綜上，直線l的方程為x=1或y= x+ ．
【解析】（I）利用橢圓的定義即可得出E的軌跡方程；（II）討論直線l的斜率，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分得出R點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程化簡即可得出直線l的斜率k．