Question

9．有一列數(shù)：a₁，a₂，a₃，…，從第二個(gè)數(shù)開(kāi)始，每一個(gè)數(shù)都等于1與它前面那個(gè)數(shù)的倒數(shù)的差，若a₁=3，則a₂₀₁₆=-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，我們可以先求出這列數(shù)的前幾個(gè)來(lái)尋找規(guī)律，當(dāng)我們算出a₄時(shí)，發(fā)現(xiàn)a₄=a₁，根據(jù)題中的運(yùn)算法則，我們就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而得出結(jié)論．

解答 解：∵a₁=3，a₂=1-$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，a₃=1-$\frac{1}{{a}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，a₄=1-$\frac{1}{{a}_{3}}$=3=a₁，
∴a_3n+1=a₁，a_3n+2，a_3n+3=a₃，（n∈N），
∵2016÷3=672，
∴a₂₀₁₆=a₃=-$\frac{1}{2}$．
故答案為：-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的規(guī)律的尋找，通過(guò)求出數(shù)列的幾個(gè)數(shù)找出規(guī)律，解題的關(guān)鍵在于2016是3的整數(shù)倍．