【題目】如圖,是將拋物線y=-x2 平移后得到的拋物線,其對稱軸為x=1,與x軸的一個交點為A(-1,0) ,另一交點為B,與y軸交點為C.
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)若點N 為拋物線上一點,且BC⊥NC,求點N的坐標;
(3)點P是拋物線上一點,點Q是一次函數(shù)y=x+的圖象上一點,若四邊形OAPQ為平行四邊形,這樣的點P、Q是否存在?若存在,分別求出點P、Q的坐標,若不存在,說明理由.
【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2)(1,4); (3)P、Q的坐標是(0,3)(1,3) 或,.
【解析】試題分析:
(1)由題意可設該拋物線的解析式為,代入點(-1,0)求出k的值即可得到所求解析式;
(2)由(1)中所得拋物線的解析式可求得點B、C的坐標,從而可求出直線BC的解析式,由直線NC⊥BC且過點C可求得NC的解析式,把NC的解析式和拋物線的解析式聯(lián)立得到方程組,解方程組即可求得點N的坐標;
(3)如下圖,由題意易得PQ=OA=1,且PQ∥OA,設點P的橫坐標為t,則可用含“t”的式子表達出Q的坐標,再把Q的坐標代入函數(shù)y=x+ 中,即可解得“t”的值,從而可求得P、Q的坐標.
試題解析:
(1)設拋物線的解析式是y=-(x-1)2+4.把 (-1,0)代入得 0=-(1-1)2+k,
解得,k=4
則拋物線的解析式是 y=-(x-1)2+4,
即y=-x2+2x+3;
(2)設直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0),代入點B、C的坐標得:
解得: ,
∴直線BC的解析式為:y=-x+3,
∵BC⊥NC,
∴可設直線CN的解析式為y=x+m.
∵C(0,3)在直線CN上,
∴0+m=3,解得:m=3,即直線CN的解析式為 y=x+3,
由: ,即 x+3=-x2+2x+3=-x2+2x+3,解得:x1=0,x2=1,
∴N的坐標是(1,4),
(3)∵四邊形OAPQ是平行四邊形,則PQ=OA=1,且PQ∥OA,
設P(t,-t2+2t+3),則Q(t+1, -t2+2t+3) ,將P、Q的坐標代入,
得-t2+2t+3=,
整理,得2t2-t=0, ,
解得t=0 或 .
∴-t2+2t+3 的值為3或.
∴P、Q的坐標是(0,3)(1,3) 或,.
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【題目】如圖所示,在離水面高度5米的岸上有人用繩子拉船靠岸,開始時繩子BC的長度為13米,此人以每秒0.5米的速度收繩.問:
(1)未開始收繩的時候,圖中船B距岸A的長度AB是多少米?
(2)收繩10秒后船向岸邊移動了多少米?(結果保留根號)
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【題目】如圖,點C是以AB為直徑的⊙O上一動點,過點C作⊙O直徑CD,過點B作BE⊥CD于點E.已知AB=6cm,設弦AC的長為xcm,B,E兩點間的距離為ycm(當點C與點A或點B重合時,y的值為0).
小冬根據(jù)學習函數(shù)的經驗,對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究.
下面是小冬的探究過程,請補充完整:
(1)通過取點、畫圖、測量,得到了x與y的幾組值,如下表:
經測量m的值是(保留一位小數(shù)).
(2)建立平面直角坐標系,描出表格中所有各對對應值為坐標的點,畫出該函數(shù)的圖象;
(3)在(2)的條件下,當函數(shù)圖象與直線相交時(原點除外),∠BAC的度數(shù)是_____.
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【題目】如圖,在△ABC和△DEB中,已知AB=DE,還需添加兩個條件才能使△ABC≌△DEC,不能添加的一組條件是
A.BC=EC,∠B=∠E B.BC=EC,AC=DC
C.BC=DC,∠A=∠D D.∠B=∠E,∠A=∠D
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點D在邊AB上,連接CD,將線段CD繞點C順時針旋轉90°至CE位置,連接AE.
(1)求證:AB⊥AE;
(2)若BC2=ADAB,求證:四邊形ADCE為正方形.
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【題目】問題提出:將一個邊長為n(n≥2)的正三角形的三條邊n等分,連接各邊對應的等分點, 則該三角形被剖分的網格中的結點個數(shù)和線段數(shù)分別是多少呢?
問題探究:要研究上面的問題,我們不妨先從特例入手,進而找到一般規(guī)律
探究一:將一個邊長為2的正三角形的三條邊平分,連接各邊中點,則該三角形被剖分的網格中的結點個數(shù)和線段數(shù)分別是多少?
如圖1,連接邊長為2的正三角形三條邊的中點,從上往下:共有1+2+3=6個結點.邊長為1的正三角形,第一層有1個,第二層有2個,共有1+2=3個,線段數(shù)為3×3=9條;邊長為2的正三角形有1個,線段數(shù)為3條,總共有3×(1+2+1)=2×(1+2+3)=12條線段.
探究二:將一個邊長為3的正三角形的三條邊三等分,連接各邊對應的等分點,則該三角形被剖分的網格中的結點個數(shù)和線段數(shù)分別是多少?
如圖2,連接邊長為3的正三角形三條邊的對應三等分點,從上往下:共有1+2+3+4=10個結點.邊長為1的正三角形,第一層有1個,第二層有2個,第三層有3個,共有1+2+3=6個,線段數(shù)為3×6=18條;邊長為2的正三角形有1+2=3個,線段數(shù)為3×3=9條,邊長為3的正三角形有1個,線段數(shù)為3條,總共有3×(1+2+3+1+2+1)=3×(1+2+3+4)=30條線段.
探究三:
請你仿照上面的方法,探究將邊長為4的正三角形的三條邊四等分(圖3),連接各邊對應的等分點,該三角形被剖分的網格中的結點個數(shù)和線段數(shù)分別是多少?
(畫出示意圖,并寫出探究過程)
問題解決:
請你仿照上面的方法,探究將一個邊長為n(n≥2)的正三角形的三條邊n等分,連接各邊對應的等分點,則該三角形被剖分的網格中的結點個數(shù)和線段數(shù)分別是多少?(寫出探究過程)
實際應用:
將一個邊長為30的正三角形的三條邊三十等分,連接各邊對應的等分點,則該三角形被剖分的網格中的結點個數(shù)和線段數(shù)分別是多少?
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【題目】已知拋物線C:y=x2+(2m﹣1)x﹣2m.
(1)若m=1,拋物線C交x軸于A,B兩點,求AB的長;
(2)若一次函數(shù)y=kx+mk的圖象與拋物線C有唯一公共點,求m的取值范圍;
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,某市為方便行人過馬路,打算修建一座高為4x(m)的過街天橋.已知天橋的斜面坡度i=1:0.75是指坡面的鉛直高度DE(CF)與水平寬度AE(BF)的比,其中DC∥AB,CD=8x(m).
(1)請求出天橋總長和馬路寬度AB的比;
(2)若某人從A地出發(fā),橫過馬路直行(A→E→F→B)到達B地,平均速度是2.5m/s;返回時從天橋由BC→CD→DA到達A地,平均速度是1.5m/s,結果比去時多用了12.8s,請求出馬路寬度AB的長.
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