Question

【題目】如圖，已知直線AQ與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸正半軸交于點(diǎn)Q，∠QAO=45°，直線AQ在y軸上的截距為2，直線BE：y=-2x+8與直線AQ交于點(diǎn)P．

（1）求直線AQ的解析式；

（2）在y軸正半軸上取一點(diǎn)F，當(dāng)四邊形BPFO是梯形時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

（3）若點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)M在直線PA上，點(diǎn)N在直線PB上，是否存在以Q、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線AQ的解析式為y=x+2；（2）F（0，4）；（3）存在，C（0，）或C（0，-10）

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法即可求出直線AQ的解析式；

(2)先求出直線AQ和直線BE的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，由PF∥x軸可知F橫坐標(biāo)為0，縱坐標(biāo)與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等；

(3)分CQ為菱形的對(duì)角線與CQ是菱形的一條邊兩種情況討論.

解：（1）設(shè)直線AQ的解析式為y=kx+b，

∵直線AQ在y軸上的截距為2，

∴b=2，

∴直線AQ的解析式為y=kx+2，

∴OQ=2，

在Rt△AOQ中，∠OAQ=45°，

∴OA=OQ=2，

∴A（-2，0），

∴-2k+2=0，

∴k=1，

∴直線AQ的解析式為y=x+2；

（2）由（1）知，直線AQ的解析式為y=x+2①，

∵直線BE：y=-2x+8②，

聯(lián)立①②解得，

∴P（2，4），

∵四邊形BPFO是梯形，

∴PF∥x軸，

∴F（0，4）；

（3）設(shè)C（0，c），

∵以Q、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，

①當(dāng)CQ是對(duì)角線時(shí)，CQ與MN互相垂直平分，

設(shè)C（0，c），

∵CQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），

∴點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)都是，

∴M（，），N（，），

∴+=0，

∴c=-10，

∴C（0，-10），

②當(dāng)CQ為邊時(shí)，CQ∥MN，CQ=MN=QM，

設(shè)M（m，m+2），

∴N（m，-2m+8），

∴|3m-6|=2-c=|m|，

∴m=或m=，

∴c=或c=（舍），

∴，

∴（0，）或C（0，-10）.