Question

【題目】數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個主要研究對象，我們經(jīng)常運用數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法解決一些數(shù)學(xué)問題。下面我們來探究“由數(shù)思形，以形助數(shù)”的方法在解決代數(shù)問題中的應(yīng)用．

探究一：求不等式的解集

（1）探究的幾何意義

如圖①，在以O為原點的數(shù)軸上，設(shè)點A＇對應(yīng)點的數(shù)為，由絕對值的定義可知，點A＇與O的距離為，

可記為：A＇O=。將線段A＇O向右平移一個單位，得到線段AB，，此時點A對應(yīng)的數(shù)為，點B的對應(yīng)數(shù)是1，

因為AB= A＇O，所以AB=。

因此，的幾何意義可以理解為數(shù)軸上所對應(yīng)的點A與1所對應(yīng)的點B之間的距離AB。

（2）求方程=2的解

因為數(shù)軸上3與所對應(yīng)的點與1所對應(yīng)的點之間的距離都為2，所以方程的解為

（3）求不等式的解集

因為表示數(shù)軸上所對應(yīng)的點與1所對應(yīng)的點之間的距離，所以求不等式解集就轉(zhuǎn)化為求這個距離小于2的點所對應(yīng)的數(shù)的范圍。

請在圖②的數(shù)軸上表示的解集，并寫出這個解集

探究二：探究的幾何意義

（1）探究的幾何意義

如圖③，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點M的坐標(biāo)為，過M作MP⊥x軸于P，作MQ⊥y軸于Q，則點P點坐標(biāo)（），Q點坐標(biāo)（），|OP|=，|OQ|=，

在Rt△OPM中，PM＝OQ＝y，則

因此的幾何意義可以理解為點M與原點O（0,0）之間的距離OM

（2）探究的幾何意義

如圖④，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點 A＇的坐標(biāo)為，由探究（二）（1）可知，

A＇O=，將線段 A＇O先向右平移1個單位，再向上平移5個單位，得到線段AB，此時A的坐標(biāo)為（），點B的坐標(biāo)為（1,5）。

因為AB= A＇O，所以 AB=，因此的幾何意義可以理解為點A（）與點B（1,5）之間的距離。

（3）探究的幾何意義

請仿照探究二（2）的方法，在圖⑤中畫出圖形，并寫出探究過程。

（4）的幾何意義可以理解為：_________________________.

拓展應(yīng)用：

（1）+的幾何意義可以理解為：點A與點E的距離與點AA與點F____________（填寫坐標(biāo)）的距離之和。

（2）+的最小值為____________(直接寫出結(jié)果)

Answer 1

【答案】探究一（3） 解集為：

探究二（3）（）拓展應(yīng)用（1）（） （2）5

【解析】

試題分析：探究一（3）：的解集就是數(shù)軸上所對應(yīng)的點與1所對應(yīng)的點之間的距離小于2的點所對應(yīng)的數(shù)，利用數(shù)軸可知

探究二（3）：根據(jù)題目信息，的幾何意義可以理解為點A（）與點B（）之間的距離。

拓展應(yīng)用：根據(jù)題目信息知是與點F（）的距離之和。

+表示點A與點E的距離與點A與點F（）的距離之和。∴最小值為E與點F（）的距離5.

試題解析：探究一

（3）

解集為：

探究二（3）

如圖⑤，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點 A＇的坐標(biāo)為，

由探究（二）（1）可知， A＇O=，

將線段 A＇O先向左平移3個單位，再向下平移4個單位，

得到線段AB，此時A的坐標(biāo)為（），點B的坐標(biāo)為（）。

因為AB= A＇O，所以 AB=，

因此的幾何意義可以理解為點A（）與點B（）之間的距離。

拓展應(yīng)用

（1）（） （2）5