Question

13．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，過點(diǎn)A作AE⊥CD，交CD的延長線于點(diǎn)E，DA平分∠BDE．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）已知AE=8cm，CD=12cm，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊對等角得出∠ODA=∠OAD，進(jìn)而得出∠OAD=∠EDA，證得EC∥OA，從而證得AE⊥OA，即可證得AE是⊙O的切線；
（2）過點(diǎn)O作OF⊥CD，垂足為點(diǎn)F．從而證得四邊形AOFE是矩形，得出OF=AE=8cm，根據(jù)垂徑定理得出DF=$\frac{1}{2}$CD=6cm，在Rt△ODF中，根據(jù)勾股定理即可求得⊙O的半徑．

解答 （1）證明：連結(jié)OA．
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD．   
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA=∠EDA．
∴∠OAD=∠EDA，
∴EC∥OA．  
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE．        
∵點(diǎn)A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切線．
（2）解：過點(diǎn)O作OF⊥CD，垂足為點(diǎn)F．
∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，
∴四邊形AOFE是矩形．
∴OF=AE=8cm． 
又∵OF⊥CD，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=6cm． 
在Rt△ODF中，OD=$\sqrt{O{F^2}+D{F^2}}$=10cm，
即⊙O的半徑為10cm．

點(diǎn)評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．