Question

已知矩形ABCD內接于⊙O，AB=6cm，AD=8cm，以圓心O為旋轉中心，把矩形ABCD順時針旋轉，得到矩形A′B′C′D′仍然內接于⊙O，記旋轉角為α（0°＜α≤90°）．
（Ⅰ）如圖①，⊙O的直徑為

 

cm；
（Ⅱ）如圖②，當α=90°時，B′C′與AD交于點E，A′D′與AD交于點F，則四邊形A′B′EF的周長是

 

cm．
（Ⅲ）如圖③，B′C′與AD交于點E，A′D′與AD交于點F，比較四邊形A′B′EF的周長和⊙O的直徑的大小關系；
（Ⅳ）如圖④，若A′B′與AD交于點M，A′D′與AD交于點N，當旋轉角α=

 

（度）時，△A′MN是等腰三角形，并求出△A′MN的周長．

Answer 1

考點：圓的綜合題,矩形的性質,圓心角、弧、弦的關系,圓周角定理,旋轉的性質

專題：綜合題

分析：（Ⅰ）連接AC，如圖①，只需運用勾股定理就可求出⊙O的直徑．
（Ⅱ）連接AB′，A′D，如圖②，由矩形及旋轉的性質可得AD=B′C′，然后由在同圓中弦與弧的關系可得

AD

=

B′C′

，從而有

B′D

=

AC′

，然后根據(jù)圓周角定理可得∠AB′C′=∠B′AD，從而有EA=EB′；同理可得DF=FA′，進而可證到四邊形A′B′EF的周長等于AB+AD，問題得以解決．
（Ⅲ）連接AB′，A′D，BD，如圖③，借鑒（Ⅱ）的解題經驗和結論，同樣可得四邊形A′B′EF的周長等于AB+AD，然后運用三角形三邊關系就可解決問題．
（Ⅳ）連接AB′，A′D，如圖④，易得旋轉角α=45°時，△A′MN是等腰三角形，然后借鑒（Ⅱ）的解題經驗和結論，可得A′N=DN，PA=PB′．設AM=x，A′N=y，則有A′B′=A′M+MP+B′P=y+

2

x+x=6①，AD=AM+MN+DN=x+

2

y+y=8②．解①和②就可求出△A′MN的周長．

解答：解：（Ⅰ）如圖①，連接AC．

∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC=AD=8，∠ABC=90°．
∵矩形ABCD內接于⊙O，∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直徑．
∵AB=6，BC=8，
∴AC=10．
故答案為：10．

（Ⅱ）如圖②，連接AB′，A′D．

由旋轉可得：A′D′=AD，A′B′=AB．
∵四邊形A′B′C′D′是矩形，
∴B′C′=A′D′．
∴AD=B′C′．
∴

AD

=

B′C′

．
∴

B′D

=

AC′

．
∴∠B′AD=∠AB′C′．
∴EA=EB′．
同理可得：DF=FA′．
∴四邊形A′B′EF的周長=A′B′+B′E+EF+FA′
=AB+EA+EF+DF=AB+AD=6+8=14．
故答案為：14．

（Ⅲ）如圖③，連接AB′，A′D，BD．

由（2）中證明可得：EA=EB′，DF=FA′．
∵A′B′+B′E+EF+FA′=AB+EA+EF+DF=AB+AD＞BD，
∴四邊形A′B′EF的周長大于⊙O的直徑．

（Ⅳ）如圖④，連接AB′，A′D．

∵四邊形A′B′C′D′是矩形，
∴∠B′A′D′=90°．
∵△A′MN是等腰三角形，
∴A′M=A′N，∠A′MN=∠A′NM=45°．
∴旋轉角α等于45°．
∴當旋轉角α等于45°時，△A′MN是等腰三角形．
故答案為：45．
由（2）中的證明可得：A′N=DN，PA=PB′．
∵∠AMP=∠A′MN=45°，∠BAD=90°，
∴∠APM=45°=∠AMP．
∴AM=AP．
∴AM=AP=PB′，A′M=A′N=DN，MP=

2

AM，MN=

2

A′N．
設AM=x，A′N=y，
則A′B′=A′M+MP+PB′=y+

2

x+x=6①，
AD=AM+MN+DN=x+

2

y+y=8②．
由②-①得：

2

（y-x）=2．
解得：y-x=

2

．
則x=y-

2

．
把x=y-

2

代入②得：y-

2

+

2

y+y=8，
解得：2y+

2

y=8+

2

．
∴△A′MN的周長為2y+

2

y=8+

2

．

點評：本題通過矩形旋轉，考查了旋轉的性質、矩形的性質、圓周角定理、同圓中弧與弦之間的關系、解二元一次方程組、勾股定理等知識，滲透了變中有不變的辯證思想，另外還考查了運用已有經驗解決問題的能力，是一道好題．