Question

如圖所示，已知⊙O的外切△ABC，AB，BC，AC邊上的切點(diǎn)為M，D，N，MN與直線DO交于E，連接AE并延長交BC于F，求證：BF=CF．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：證明題

分析：若證F是BC的中點(diǎn)，因?yàn)镋D與BC垂直，因此考慮將MN繞E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與BC平行的位置，即M′N′，這時只要E點(diǎn)是M′N′的中點(diǎn)，結(jié)論即可得出．

解答：證明：過E點(diǎn)作M′N′∥BC，交AB于M′，交AC于N′，連結(jié)OM，ON，OM′，ON′．
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，且D，M，N為切點(diǎn)，
∴∠OMN′=∠ODB=90°．
∵∠OEN′=∠ODB，
∴∠OMN′=∠OEN′，
∴O，E，M，N′四點(diǎn)共圓，所以
∠OME=∠ON′E．
同理，O，E，M′，N四點(diǎn)共圓，
∴∠ONE=∠OM′E．
∵OM=ON，
∴∠OME=∠ONE，∠ON′E=∠OM′E，
OM′=ON′，EM′=EN′．
∵M(jìn)′N′∥BC，
∴BF=FC．

點(diǎn)評：此題主要考查了切線的性質(zhì)與四點(diǎn)共圓的性質(zhì)與判定，得出O，E，M，N′四點(diǎn)共圓是解題關(guān)鍵．