Question

（2010•東營）如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，點C在⊙O上，CA=CD，∠CDA=30°．
（1）判斷直線CD與⊙O的位置關系為

相切

；
（2）若⊙O的半徑為5，則點A到CD所在直線的距離為

7.5

．

Answer 1

分析：（1）連接OC，證明∠OCD=90°，從而判斷CD與⊙O相切．易證∠A=30°，∠COD=60°．所以∠OCD=90°．得證；
（2）作AE⊥DC，交DC的延長線于E點．運用三角函數(shù)知識，在△OCD中求OD，從而知AD長度；在△ADE中求AE，得解．

解答：解：（1）∵△ACD是等腰三角形，∠D=30°．∴∠CAD=∠CDA=30°．      （1分）
連接OC．
∵AO=CO，∴△AOC是等腰三角形．                                    （2分）
∴∠CAO=∠ACO=30°，∴∠COD=60°．                                （3分）
在△COD中，
又∵∠CDO=30°，∴∠DCO=90°．                                    （4分）
∴CD是⊙O的切線，即直線CD與⊙O相切．                              （5分）
（2）過點A作AE⊥CD，垂足為E．                                      （6分）
在Rt△COD中，∵∠CDO=30°，∴OD=2OC=10．AD=AO+OD=15．              （7分）
在Rt△ADE中，∵∠EDA=30°，∴點A到CD邊的距離為：AE=AD•sin30°=7.5．（9分）

點評：此題考查了切線的判定、解直角三角形等知識點，難度中等．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．