Question

8．如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，CD上的點，AE=CF，連結(jié)EF、BF，EF與對角線AC交于點O，且BE=BF，∠DFE=2∠ACF．
（1）求證：OE=OF；
（2）連結(jié)BO，求證：BO=BC；
（3）若BC=2$\sqrt{3}$，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的對邊平行可得AB∥CD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠BAC=∠FCO，然后利用“角角邊”證明△AOE和△COF全等，再根據(jù)全等三角形的即可得證；
（2）連接OB，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BO⊥EF，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OA=OB，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠BAC=∠ABO，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，由直角三角形的性質(zhì)得出BC=$\frac{1}{2}$AC，即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC，再利用勾股定理即可求出AB．

解答 （1）證明：在矩形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠FCO，
在△AOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠FCO}&{\;}\\{∠AOE=∠COF}&{\;}\\{AE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；
（2）證明：如圖，連接OB，
∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半可知：OA=OB=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得：∠BAC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AC=OA=OB，
（3）解：∵BC=2$\sqrt{3}$，
∴AC=2BC=4$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=6．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，綜合題，但難度不大，（2）作輔助線并求出∠BAC=30°是解題的關(guān)鍵．