Question

13．在平面直角坐標(biāo)系中，己知A（0，1），B（4，3），點M在坐標(biāo)軸上，使∠AMB=45°，則M的坐標(biāo)為（0，7），（0，-1），（3-$\sqrt{10}$，0），（3+$\sqrt{10}$，0）．

Answer 1

分析 根據(jù)圓周角定理，如果$\widehat{AB}$所對圓心角的度數(shù)為90°，且M與點A，B共圓，則∠AMB=45°．由此假設(shè)△PAB是以點P為直角頂點的等腰直角三角形（P在AB上方），那么PA=PB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{10}$，再求出P（1，4），以P為圓心，PA為半徑畫圓交y軸于M，則∠AMB=$\frac{1}{2}$∠APB=45°，此時PM=$\sqrt{10}$，PE=1，ME=$\sqrt{（\sqrt{10}）^{2}-1}$=3，則M₁（0，7）；在AB下方再求出另一個圓心P′（3，0），以P′為圓心，P′A為半徑畫圓交y軸于M₂，交x軸于M₃，M₄，根據(jù)半徑為$\sqrt{10}$，即可求出M₂（0，-1），M₃（3-$\sqrt{10}$，0），M₄（3+$\sqrt{10}$，0）．

解答 解：∵A（0，1），B（4，3），
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+（3-1）^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
如圖，如果△PAB是以點P為直角頂點的等腰直角三角形（P在AB上方），那么PA=PB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{10}$．

過P作PE⊥y軸于E，過B作BF⊥PE于F，易證△AEP≌△PFB，AE=PF，EP=BF．
設(shè)EP=a，AE=b，則EF=EP+PF=a+b=4，b+1=a+3，所以b=a+2，
解得a=1，b=3，則P（1，4）．
以P為圓心，PA為半徑畫圓交y軸于M，則∠AMB=$\frac{1}{2}$∠APB=45°，此時PM=$\sqrt{10}$，PE=1，
ME=$\sqrt{（\sqrt{10}）^{2}-1}$=3，則M₁（0，7）；
易求另一個圓心P′（3，0），以P′為圓心，P′A為半徑畫圓交y軸于M₂，交x軸于M₃，M₄，
設(shè)M₂（0，n），M₃（m，0），
∵P′M₂=$\sqrt{10}$，
∴3²+n²=10，
解得n=±1（正數(shù)舍去），
∴M₂（0，-1）；
∵P′M₃=$\sqrt{10}$，
∴|m-3|=$\sqrt{10}$，
解得m=3±$\sqrt{10}$，
∴M₃（3-$\sqrt{10}$，0），M₄（3+$\sqrt{10}$，0）．
綜上所述，所求點的坐標(biāo)為M₁（0，7），M₂（0，-1），M₃（3-$\sqrt{10}$，0），M₄（3+$\sqrt{10}$，0）．
故答案為（0，7），（0，-1），（3-$\sqrt{10}$，0），（3+$\sqrt{10}$，0）．

點評 本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，有一定難度．利用數(shù)形結(jié)合、分類討論是解題的關(guān)鍵．