Question

3．如圖：∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，C、D分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求△PCD周長最小值．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)P關(guān)于OA、OB對(duì)稱點(diǎn)分別為M、N，當(dāng)點(diǎn)C、D在MN上時(shí)，△PCD周長為PC+CD+DP=MN，此時(shí)周長最�。�

解答 解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)M、N，連接OM、ON、MN，MN交OA、OB于點(diǎn)C、D，連接PC、PD，此時(shí)△PCD周長的最小值等于MN．
由軸對(duì)稱性質(zhì)可得OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，
則∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，
在Rt△MON中，MN=$\sqrt{O{M}^{2}+O{N}^{2}}$=10$\sqrt{2}$．
即△PCD周長的最小值等于10$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱--最短路線的問題，綜合應(yīng)用了軸對(duì)稱、等腰直角三角形以及勾股定理的有關(guān)知識(shí)．