Question

如圖，在△ABC中，∠A=α，∠ABC的平分線與△ABC的外角∠ACD的平分線交于點(diǎn)A₁，得∠A₁=

 

；∠A₁BC的平分線與∠A₁CD的平分線交于點(diǎn)A₂，得∠A₂；…；∠A₂₀₁₀BC的平分線與∠A₂₀₁₀CD的平分線交于點(diǎn)A₂₀₁₁，得∠A₂₀₁₁，則∠A₂₀₁₁=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)角平分線的定義可得∠A₁BC=

1

2

∠ABC，∠A₁CD=

1

2

∠ACD，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，整理即可求出∠A₁的度數(shù)，同理求出∠A₂，可以發(fā)現(xiàn)后一個(gè)角等于前一個(gè)角的

1

2

，根據(jù)此規(guī)律即可得解．

解答：解：∵A₁B是∠ABC的平分線，A₁C是∠ACD的平分線，
∴∠A₁BC=

1

2

∠ABC，∠A₁CD=

1

2

∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，
∴

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠ABC+∠A₁，
∴∠A₁=

1

2

∠A，
∵∠A=α，
∴∠A₁=

α

2

；
同理可得∠A₂=

1

2

∠A₁=

1

2

•

1

2

α=

α

22

，
∴∠A_n=

α

2n

，
∴∠A₂₀₁₁=

α

22011

．
故答案為：

α

2

，

α

22011

．

點(diǎn)評：本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵．