【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)C是y軸正半軸上的一個(gè)動點(diǎn),拋物線y=ax2﹣5ax+4a(a是常數(shù),且a>0)過點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊.連接AC,以AC為邊作等邊三角形ACD,點(diǎn)D與點(diǎn)O在直線AC兩側(cè).
(1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)CD∥x軸時(shí),求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(3)連接BD,當(dāng)BD最短時(shí),請直接寫出拋物線的函數(shù)表達(dá)式.
【答案】(1)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(1,0)、(4,0);(2)y=x2﹣x+;(3)y=x2﹣x+.
【解析】
(1)根據(jù)拋物線解析式求解與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即y=0是x的值,即可得出A,B的坐標(biāo);
(2)根據(jù)三角形ACD是等邊三角形可知∠OCA的度數(shù),根據(jù)三角函數(shù)值可求點(diǎn)C坐標(biāo),從而可求答案;
(3)過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作x軸的垂線于點(diǎn)H,過點(diǎn)E作EF∥x軸交y軸于點(diǎn)F交DH于點(diǎn)G,根據(jù)點(diǎn)E坐標(biāo)進(jìn)一步求△CFE∽△EGD,進(jìn)而可求答案.
(1)y=ax2﹣5ax+4a,令y=0,則x=1或4,
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊
故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為:(1,0)、(4,0);
(2)∵點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,0),∴OA=1
∵△ACD是等邊三角形,∴∠DCA=60°
當(dāng)CD∥x軸時(shí),∠DCO=90°
∴∠ACO=30°,則∠OCA=60°,
則OC=OAtan60°=,故點(diǎn)C(0,),
即=4a,解得:a=,
故拋物線的表達(dá)式為:;
(3)如圖,過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作x軸的垂線于點(diǎn)H,過點(diǎn)E作EF∥x軸交y軸于點(diǎn)F交DH于點(diǎn)G,
∵△ACD為等邊三角形,則點(diǎn)E為AC的中點(diǎn),則點(diǎn)E(,2a),AE=CE=ED,
∵∠CEF+∠FCE=90°,∠CEF+∠DEG=90°,∴∠DEG=∠ECF,
∴△CFE∽△EGD,∴,其中EF=,CF=2a,
解得:GE=a,DG=,故點(diǎn)D(),
BD2=(,
故當(dāng)a=時(shí),BD最小,
故拋物線的表達(dá)式為:y=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC在邊長為l的正方形網(wǎng)格中如圖所示.
①以點(diǎn)C為位似中心,作出△ABC的位似圖形△A1B1C,使其位似比為1:2.且△A1B1C位于點(diǎn)C的異側(cè),并表示出A1的坐標(biāo).
②作出△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△A2B2C.
③在②的條件下求出點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系,已知三個(gè)頂點(diǎn)分別為,,.
(1)以原點(diǎn)為位似中心,在軸的上方畫出,使與位似,且相似比為;
(2)的面積是__________平方單位;
(3)點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn),則在內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)E,F分別是銳角∠A兩邊上的點(diǎn),AE=AF,分別以點(diǎn)E,F為圓心,以AE的長為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn)D,連接DE,DF.
(1)請你判斷所畫四邊形的性狀,并說明理由;
(2)連接EF,若AE=8厘米,∠A=60°,求線段EF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖,線段AB,BC,BD,DE的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上,線段AB和DE交于點(diǎn)F,則DF的長度為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于二次函數(shù)y=x2﹣3x+2和一次函數(shù)y=﹣2x+4,把y=t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4)稱為這兩個(gè)函數(shù)的“再生二次函數(shù)”,其中t是不為零的實(shí)數(shù),其圖象記作拋物線L.現(xiàn)有點(diǎn)A(2,0)和拋物線L上的點(diǎn)B(﹣1,n),請完成下列任務(wù):
(嘗試)
(1)當(dāng)t=2時(shí),拋物線y=t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ;
(2)判斷點(diǎn)A是否在拋物線L上;
(3)求n的值;
(發(fā)現(xiàn))
通過(2)和(3)的演算可知,對于t取任何不為零的實(shí)數(shù),拋物線L總過定點(diǎn),坐標(biāo)為 .
(應(yīng)用)
二次函數(shù)y=﹣3x2+5x+2是二次函數(shù)y=x2﹣3x+2和一次函數(shù)y=﹣2x+4的一個(gè)“再生二次函數(shù)”嗎?如果是,求出t的值;如果不是,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線(a≠0)經(jīng)過A(-1,0),B(2,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上,當(dāng)△ACP的周長最小時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3) 點(diǎn)N在拋物線上,點(diǎn)M在拋物線的對稱軸上,是否存在以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的Rt△DNM與Rt△BOC相似,若存在,請求出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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