Question

【題目】在△ABC中，AB=AC≠BC，點(diǎn)D和點(diǎn)A在直線BC的同側(cè)，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，且α+β=120°，連接AD，求∠ADB的度數(shù)．（不必解答）

（1）小聰先從特殊問題開始研究，當(dāng)α=90°，β=30°時(shí)，利用軸對(duì)稱知識(shí)，以AB為對(duì)稱軸構(gòu)造△ABD的軸對(duì)稱圖形△ABD′，連接CD′（如圖2），然后利用α=90°，β=30°以及等邊三角形等相關(guān)知識(shí)便可解決這個(gè)問題．

請(qǐng)結(jié)合小聰研究問題的過程和思路，在這種特殊情況下填空：△D′BC的形狀是　 　三角形；∠ADB的度數(shù)為　 　．

（2）在原問題中，當(dāng)∠DBC＜∠ABC（如圖1）時(shí)，請(qǐng)計(jì)算∠ADB的度數(shù)；

（3）在原問題中，過點(diǎn)A作直線AE⊥BD，交直線BD于E，其他條件不變?nèi)?/span>BC=7，AD=2．請(qǐng)直接寫出線段BE的長(zhǎng)為　 　．

Answer 1

【答案】（1）①△D′BC是等邊三角形，②∠ADB=30°（2）∠ADB=30°；（3）7+或7﹣

【解析】

（1）①如圖2中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，連接CD′，AD′，由△ABD≌△ABD′，推出△D′BC是等邊三角形；

②借助①的結(jié)論，再判斷出△AD′B≌△AD′C，得∠AD′B＝∠AD′C，由此即可解決問題．

（2）當(dāng)60°＜α≤120°時(shí)，如圖3中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，連接CD′，AD′，證明方法類似（1）．

（3）第①種情況：當(dāng)60°＜α≤120°時(shí)，如圖3中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，連接CD′，AD′，證明方法類似（1），最后利用含30度角的直角三角形求出DE，即可得出結(jié)論；第②種情況：當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，如圖4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，連接CD′，AD′．證明方法類似（1），最后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

（1）①如圖2中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，連接CD′，AD′，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=45°，

∵∠DBC=30°，

∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=15°，

在△ABD和△ABD′中，

∴△ABD≌△ABD′，

∴∠ABD=∠ABD′=15°，∠ADB=∠AD′B，

∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°，

∵BD=BD′，BD=BC，

∴BD′=BC，

∴△D′BC是等邊三角形，

②∵△D′BC是等邊三角形，

∴D′B=D′C，∠BD′C=60°，

在△AD′B和△AD′C中，

∴△AD′B≌△AD′C，

∴∠AD′B=∠AD′C，

∴∠AD′B=∠BD′C=30°，

∴∠ADB=30°．

（2）∵∠DBC＜∠ABC，

∴60°＜α≤120°，

如圖3中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，連接CD′，AD′，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠BAC=α，

∴∠ABC=（180°﹣α）=90°﹣α，

∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=90°﹣α﹣β，

同（1）①可證△ABD≌△ABD′，

∴∠ABD=∠ABD′=90°﹣α﹣β，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B

∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°﹣α﹣β+90°﹣α=180°﹣（α+β），

∵α+β=120°，

∴∠D′BC=60°，

由（1）②可知，△AD′B≌△AD′C，

∴∠AD′B=∠AD′C，

∴∠AD′B=∠BD′C=30°，

∴∠ADB=30°．

（3）第①情況：當(dāng)60°＜α＜120°時(shí)，如圖3﹣1，

由（2）知，∠ADB=30°，

作AE⊥BD，

在Rt△ADE中，∠ADB=30°，AD=2，

∴DE=，

∵△BCD'是等邊三角形，

∴BD'=BC=7，

∴BD=BD'=7，

∴BE=BD﹣DE=7﹣；

第②情況：當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，

如圖4中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，連接CD′，AD′．

同理可得：∠ABC=（180°﹣α）=90°﹣α，

∴∠ABD=∠DBC﹣∠ABC=β﹣（90°﹣α），

同（1）①可證△ABD≌△ABD′，

∴∠ABD=∠ABD′=β﹣（90°﹣α），BD=BD′，∠ADB=∠AD′B，

∴∠D′BC=∠ABC﹣∠ABD′=90°﹣α﹣[β﹣（90°﹣α）]=180°﹣（α+β），

∴D′B=D′C，∠BD′C=60°．

同（1）②可證△AD′B≌△AD′C，

∴∠AD′B=∠AD′C，

∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°，

∴∠ADB=∠AD′B=150°，

在Rt△ADE中，∠ADE=30°，AD=2，

∴DE=，

∴BE=BD+DE=7+，

故答案為：7+或7﹣．