Question

14．如圖，兩個(gè)半徑相等的直角扇形的圓心分別在對(duì)方的圓弧上，半徑AE、CF交于點(diǎn)G，半徑BE、CD交于點(diǎn)H，且點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，若扇形的半徑為$\sqrt{2}$，則圖中陰影部分的面積等于π-2．

Answer 1

分析 根據(jù)扇形的面積公式求出面積，再過點(diǎn)C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分別為M、N，然后證明△CMG與△CNH全等，從而得到中間空白區(qū)域的面積等于以2為對(duì)角線的正方形的面積，從而得出陰影部分的面積．

解答 解：兩扇形的面積和為：$\frac{180π•（\sqrt{2}）^{2}}{360}$=π，
過點(diǎn)C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分別為M、N，
則四邊形EMCN是矩形，
∵點(diǎn)C是$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，
∴EC平分∠AEB，
∴CM=CN，
∴矩形EMCN是正方形，
∵∠MCG+∠FCN=90°，∠NCH+∠FCN=90°，
∴∠MCG=∠NCH，
在△CMG與△CNH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MCG=∠NCH}\\{CM=CN}\\{∠CMG=∠CNB=90°}\end{array}\right.$，
∴△CMG≌△CNH（ASA），
∴中間空白區(qū)域面積相當(dāng)于對(duì)角線是$\sqrt{2}$的正方形面積，
∴空白區(qū)域的面積為：$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=1，
∴圖中陰影部分的面積=兩個(gè)扇形面積和-2個(gè)空白區(qū)域面積的和=π-2．
故答案為：π-2．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了扇形的面積求法，三角形的面積的計(jì)算，全等三角形的判定和性質(zhì)，得出四邊形EGCH的面積是解決問題的關(guān)鍵．