Question

如圖，O為Rt△ABC的直角邊AC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心OC為半徑作⊙O切AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E．
（1）若△BDC為等邊三角形，試求

AE

AD

的值；
（2）若AC=4，BC=3，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠ABC=60°，從而求得∠A=30°，根據(jù)30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半得出BC=

1

2

AB，根據(jù)切線的性質(zhì)得出BC=BD，從而求得AD=BC，設(shè)BC=x，則AB=2x，AC=

3

x，根據(jù)AD²=AE•AC，即可求得AE═

4 3

3

x，進(jìn)而即可求得

AE

AD

的值；
（2）連接CD交OB于F，根據(jù)勾股定理求得AB=5，根據(jù)切線的性質(zhì)得出BD=BC=3，得出AD=2，根據(jù)AD²=AE•AC，求得AE=1，從而求得直徑EC，得出半徑OC=

3

2

再根據(jù)勾股定理求得OB，然后根據(jù)三角形相似求得CF，即可求得CD的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵△BDC為等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∴BC=

1

2

AB，
∵AC⊥BC，
∴BC是⊙O切線，
∵AB是⊙O切線，
∴BC=BD，
∴AD=BC，
設(shè)BC=x，則AB=2x，AC=

3

x，
∵AD²=AE•AC，
∴（2x）²=AE•

3

x，
解得AE=

4 3

3

x，
∴

AE

AD

=

4 3 3 x

x

=

4 3

3

；

（2）連接CD交OB于F，．
∵在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，
∴AB=

AC2+BC2

=5，
∵BD=BC=3，
∴AD=2，
∵AB是⊙O的切線，
∴AD²=AE•AC，
∴AE=

22

4

=1，
∴EC=4-1=3，
∴OC=

3

2

，
∵在Rt△OBC中，OC=

3

2

，BC=3，
∴OB=

OC2+BC2

=

3 5

2

，
∵OB垂直平分CD，
∴∠OFC=∠OCB=90°，
∵∠COF=∠BOC，
∴△OCF∽△OBC，
∵

CF

BC

=

OC

OB

∴CF=

3 5

5

∴CD=2CF=

6 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，直角三角形的性質(zhì)等，熟練掌握切線的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．