Question

如圖，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在F處，折痕為MN．
（1）求線段CN的長(zhǎng)；
（2）求以線段MN為邊長(zhǎng)的正方形的面積；
（3）求線段AM的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）

專題：

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若設(shè)CN=x，則DN=NE=8-x，CE=4cm，根據(jù)勾股定理就可以列出方程，從而解出CN的長(zhǎng)；
（2）過(guò)點(diǎn)M作MG⊥CD于點(diǎn)G，證明△MNG≌△DEC，則有MN=DE；
（3）（2）中已得△MNG≌△DEC，得到GN=CE，從而求出DG，即AM的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）由題意設(shè)CN=x cm，則EN=（8-x）cm，
又∵CE=

1

2

DC=4cm，
∴在Rt△ECN中，EN²=EC²+CN²，即（8-x）²=4²+x²，
解得：x=3，即CN=3cm；

（2）在Rt△DCE中，CE=4cm，CD=8cm，
由勾股定理得：DE=

CD2+CE2

=

82+42

=4

5

cm，
如圖，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥CD于點(diǎn)G，則由題意可知AM=DG，MG=BC=CD．
連接DE，交MG于點(diǎn)I．

由折疊可知，DE⊥MN，∴∠NMG+MIE=90°，
∵∠DIG+∠EDC=90°，∠MIE=∠DIG（對(duì)頂角相等），
∴∠NMG=∠EDC．
在△MNG與△DEC中，

∠NMG=∠EDC MG=CD ∠MGN=∠DCE

，
∴△MNG≌△DEC（ASA）．
∴MN=DE=4

5

cm；
（3）∵△MNG≌△DEC
∴GN=CE=4cm，
∴DG=CD-CN-GN=8-3-4=1cm．
∴AM=DG=1cm．

點(diǎn)評(píng)：考查了翻折問(wèn)題，翻折問(wèn)題關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)重合的量，哪些邊、角是相等的．本題中DN=EN是解題關(guān)鍵，再利用勾股定理、全等三角形的知識(shí)就迎刃而解．