Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，直線y=x+4經(jīng)過點(diǎn)A、C，點(diǎn)P為拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）如圖，當(dāng)CP//AO時(shí)，求∠PAC的正切值；

（3）當(dāng)以AP、AO為鄰邊的平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)恰好也在拋物線上時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為；（2）；（3）P點(diǎn)的坐標(biāo)是.

【解析】分析：

（1）由題意易得點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（-4，0），（0，4），將這兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線列出方程組，解得b、c的值即可求得拋物線的解析式；

（2）如下圖，作PH⊥AC于H，連接OP，由已知條件先求得PC=2，AC=，結(jié)合S△ABC=S△OPC，可求得PH=，再由OA=OC得到∠CAO=45°，結(jié)合CP∥OA可得∠PCA=45°，即可得到CH=PH=，由此可得AH=，這樣在Rt△APH中由tan∠PAC=即可求得所求答案了；

（3）如圖，當(dāng)四邊形AOPQ為符合要求的平行四邊形時(shí)，則此時(shí)PQ=AO=4，且點(diǎn)P、Q關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=-1對(duì)稱，由此可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-3，代入拋物線解析即可求得此時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo).

詳解：

（1）∵直線y=x+4經(jīng)過點(diǎn)A、C，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上

∴A點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣4，0），點(diǎn)C坐標(biāo)是（0，4），

又∵拋物線過A，C兩點(diǎn)，

∴

解得，

∴拋物線的表達(dá)式為；

（2）作PH⊥AC于H，

∵點(diǎn)C、P在拋物線上，CP//AO， C（0，4），A（-4，0）

∴P（-2,4），AC=，S△ABC=S△OPC，

∴PC=2，，

∴PH=，

∵A（﹣4，0），C（0，4），

∴∠CAO=45°.

∵CP//AO，

∴∠ACP=∠CAO=45°，

∵PH⊥AC，

∴CH=PH=，

∴.

∴；

（3）∵，

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，

∵以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)Q恰好也在拋物線上，

∴PQ∥AO，且PQ=AO=4．

∵P，Q都在拋物線上，

∴P，Q關(guān)于直線對(duì)稱，

∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是﹣3，

∵當(dāng)x=﹣3時(shí)，，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是.