【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象與軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點,與y軸交于點C.該拋物線的頂點為M.

(1)求該拋物線的解析式;

(2)判斷BCM的形狀,并說明理由.

(3)探究坐標軸上是否存在點P,使得以點PA,C為頂點的三角形與BCM相似?若存在,請求出點P的坐標,若不存在,請說明理由.

【答案】(1;(2BCMRt;(3O0,0),P10, ),P29,0).

【解析】試題分析:(1)已知拋物線圖象上的三點坐標,可用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式;

2)根據(jù)BC、M的坐標,可求得△BCM三邊的長,然后判斷這三條邊的長是否符合勾股定理即可;

3)假設(shè)存在符合條件的P點;首先連接AC,根據(jù)A、C的坐標及(2)題所得△BDC三邊的比例關(guān)系,即可判斷出點O符合P點的要求,因此以PA、C為頂點的三角形也必與△COA相似,那么分別過A、C作線段AC的垂線,這兩條垂線與坐標軸的交點也符合點P點要求,可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)(或射影定理)求得OP的長,也就得到了點P的坐標.

解:(1二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A﹣1,0),B30)兩點,

,

解得:

則拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3;

2△BCM為直角三角形,理由為:

對于拋物線解析式y=x2﹣2x﹣3=x﹣12﹣4,即頂點M坐標為(1,﹣4),

x=0,得到y=﹣3,即C0,﹣3),

根據(jù)勾股定理得:BC=3,BM=2,CM=,

∵BM2=BC2+CM2,

∴△BCM為直角三角形;

3)若∠APC=90°,即P點和O點重合,如圖1

連接AC,

∵∠AOC=∠MCB=90°,且=

∴Rt△AOC∽Rt△MCB,

此時P點坐標為(00).

P點在y軸上,則∠PAC=90°,如圖2,過AAP1⊥ACy軸正半軸于P1

∵Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCM,

=

=,

P10,).

P點在x軸上,則∠PCA=90°,如圖3,過CCP2⊥ACx軸正半軸于P2

∵Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCM,

=

=,AP2=10,

P29,0).

符合條件的點有三個:O00),P10,),P290).

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