Question

【題目】已知：△ABC內(nèi)接于⊙0，連接AO并延長交BC于點(diǎn)D．

(l)如圖l，求證：∠ABC+∠CAD=90°；

(2)如圖2，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，若∠ADC=2∠ACB．求證：AC=2DE；

(3)如圖3，在(2)的條件下，連接BO交DE于點(diǎn)F，延長ED交⊙0于點(diǎn)G，連接AG，若AC= ，BF=OD，求線段AG的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）線段AG的長為

【解析】試題分析：（1）延長AD交⊙O于點(diǎn)M，連接MC，由AM為⊙O的直徑得∠ACM=90°，所以∠AMC＋∠MAC=90°，根據(jù)∠ABC和∠AMC是同弧的所對的角，則有∠ABC=∠AMC，從而得到∠B＋∠CAD=90°；（2）過點(diǎn)O作OH⊥AC于H，連接BO，由=得到∠AOB=2∠ACB，又因?yàn)椤?/span>ADC=2∠ACB，所以∠AOB=∠ADC，∠BOD=∠BDO ，BD=BO 又因?yàn)椤?/span>BED=∠AHO 、∠ABD=∠AOH，所以△BDE≌△AOH，所以DE=AH ，又因?yàn)?/span>OH⊥AC ，AH=CH=AC ，所以AC=2DE ；（3）過點(diǎn)O作ON⊥EG于N, OT⊥AB于T連接OG, 因?yàn)?/span> ，所以DE= ，又因?yàn)?/span>OA=OB，所以∠ABO=∠BAO，因?yàn)椤?/span>ABO＋∠BFE=90° ∠BAO＋∠ADE=90°，所以∠BFE=∠OFD=∠ODF ，所以OF=OD ，因?yàn)?/span>BF=OD ，所以OF=OD=BF，所以△BFE≌△OFN ，所以BE=ON EF=FN，又因?yàn)?/span>OF=OD ON⊥FD，所以EF=FN=ND=，因?yàn)?/span>BE=ON OG=BD ，所以△BED≌△NOG，所以ED=NG ，所以EG= ，又因?yàn)?/span>ON⊥EG OT⊥AB DE⊥AB ，所以四邊形ONET為矩形 ，所以BE=ET=ON，因?yàn)?/span>OT⊥AB ，所以AT=BT AE=3BE，設(shè)AO=BD=r OD=r AD=r，因?yàn)樵?/span>Rt△AED中 AE2=AD2-ED2 在Rt△BED中 BE2=BD2-ED2，則可求出AE=15 ，在△AEG中由勾股定理得AG= 或r=- (舍去) AE=15 ，在△AEG中由勾股定理得AG=

試題解析：

（1）證明：延長AD交⊙O于點(diǎn)M，連接MC，如圖所示：

∵AM為⊙O的直徑，

∴∠ACM=90°

∴∠AMC＋∠MAC=90°

∵=

∴∠ABC=∠AMC

∵∠AMC＋∠MAC=90° （已證）

∴∠B＋∠CAD=90°。

(2) 證明：過點(diǎn)O作OH⊥AC于H，連接BO，如圖所示：

∵=

∴∠AOB=2∠ACB

∵∠ADC=2∠ACB

∴∠AOB=∠ADC

∴∠BOD=∠BDO

∴BD=BO

∵∠BED=∠AHO ∠ABD=∠AOH

∴△BDE≌△AOH

∴DE=AH

∵OH⊥AC

∴AH=CH=AC

∴AC=2DE

(3) 證明：過點(diǎn)O作ON⊥EG于N, OT⊥AB于T連接OG，如圖所示：

∵

∴DE=

∵OA=OB

∴∠ABO=∠BAO

∵∠ABO＋∠BFE=90° ∠BAO＋∠ADE=90°

∴∠BFE=∠OFD=∠ODF

∴OF=OD

∵BF=OD

∴OF=OD=BF

∴△BFE≌△OFN

∴BE=ON EF=FN

∵OF=OD ON⊥FD

∴EF=FN=ND=

∵BE=ON OG=BD

∴△BED≌△NOG

∴ED=NG

∴EG=

∵ON⊥EG OT⊥AB DE⊥AB

∴四邊形ONET為矩形

∴BE=ET=ON

∵OT⊥AB

∴AT=BT AE=3BE

設(shè)AO=BD=r OD=r AD=r

在Rt△AED中 AE2=AD2-ED2 在Rt△BED中 BE2=BD2-ED2

即

或r=- (舍去) AE=15

在△AEG中由勾股定理得AG=