【題目】己知:如圖,在菱形ABCD中,點E、F分別在邊BC、CD,∠BAF=∠DAE,AE與BD交于點G.
(1)求證:BE=DF;
(2)若,求證:四邊形BEFG是平行四邊形.
【答案】見解析
【解析】(1)證得△ABE與△AFD全等后即可證得結論;
(2))利用=得到,從而根據平行線分線段成比例定理證得FG∥BC,進而得到∠DGF=∠DBC=∠BDC,最后證得BE=GF,利用一組對邊平行且相等即可判定平行四邊形.
(1)∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠ABC=∠ADF.
∵∠BAF=∠DAE,∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF,即:∠BAE=∠DAF,
∴△BAE≌△DAF,
∴BE=DF;
(2)∵四邊形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,∴△ADG∽△EBG,
∴=.
又∵BE=DF,=,
∴==,
∴,又∠BDC=∠GDF,
∴△BDC∽△GDF,∴∠DBC=∠DGF,
∴GF∥BC,
∴∠DGF=∠DBC.
∵BC=CD,
∴∠BDC=∠DBC=∠DGF,
∴GF=DF=BE,
∵GF∥BC,GF=BE,
∴四邊形BEFG是平行四邊形.
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【題目】根據給出的數軸及已知條件,解答下面的問題:
(1)已知點A,B,C表示的數分別為1,,-3.觀察數軸,與點A的距離為3的點表示的數是 ,A,B兩點之間的距離為 。
(2)數軸上,點B關于點A的對稱點表示的數是 ;
(3)若將數軸折疊,使得A點與C點重合,則與B點重合的點表示的數是 ;若此數軸上M,N兩點之間的距離為2019(M在N的左側),且當A點與C點重合時,M點與N點也恰好重合,則點M表示的數是 ,點N表示的數是 。
(4)若數軸上P,Q兩點間的距離為a(P在Q的左側),表示數b的點到P,Q的兩點的距離相等,將數軸折疊,當P點與Q點重合時,點P表示的數是 ,點Q表示的數是 (用含a,b的式子表示這兩個數)。
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=∠C=40°,點D在線段BC上運動(點D不與點B、C重合),連接AD,作∠ADE=40°,DE交線段AC于點E.
(1)當∠BDA=110°時,∠EDC= °,∠DEC= °;點D從B向C的運動過程中,∠BDA逐漸變 (填“大”或“小”);
(2)當DC等于多少時,△ABD≌△DCE,請說明理由.
(3)在點D的運動過程中,△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎?若可以,請直接寫出∠BDA的度數,若不可以,請說明理由.
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【題目】如圖1,將邊長為1的正方形ABCD壓扁為邊長為1的菱形ABCD.在菱形ABCD中,∠A的大小為α,面積記為S.
(1)請補全下表:
30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | |
S | 1 |
(2)填空:
由(1)可以發(fā)現正方形在壓扁的過程中,菱形的面積隨著∠A大小的變化而變化,不妨把菱形的面積S記為S(α).例如:當α=30°時,;當α=135°時,.由上表可以得到( ______°);( ______°),…,由此可以歸納出.
(3) 兩塊相同的等腰直角三角板按如圖的方式放置,AD=,∠AOB=α,試探究圖中兩個帶陰影的三角形面積是否相等,并說明理由(注:可以利用(2)中的結論).
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【題目】如圖,Rt△OAB的頂點O與坐標原點重合,∠AOB=90°,AO=2BO,當點A在反比例函數(x>0)的圖像上移動時,點B的坐標滿足的函數表達式為( )
A. (x<0) B. (x<0)
C. (x<0) D. (x<0)
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【題目】甲乙兩地相距400千米,一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)駛向乙地,如圖,線段OA表示貨車離甲地的路程y(千米)與所用時間x(小時)之間的函數關系,折線BCD表示轎車離甲地的路程y(千米)與x(小時)之間的函數關系,根據圖象解答下列問題:
(1)求線段CD對應的函數表達式;
(2)求E點的坐標,并解釋E點的實際意義;
(3)若已知轎車比貨車晚出發(fā)2分鐘,且到達乙地后在原地等待貨車,則當x= 小時,貨車和轎車相距30千米.
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【題目】閱讀下面的材料:勾股定理神秘而美妙,它的證法多種多樣,下面是教材中介紹的一種拼圖證明勾股定理的方法.先做四個全等的直角三角形,設它們的兩條直角邊分別為a,b,斜邊為c,然后按圖1的方法將它們擺成正方形.
由圖1可以得到(a+b)2=4×ab+c2
整理,得a2+2ab+b2=2ab+c2.
所以a2+b2=c2.
如果把圖1中的四個全等的直角三角形擺成圖2所示的正方形,請你參照上述方法證明勾股定理.
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【題目】如圖,∠AOB=90°,OA=36cm,OB=12cm,一機器人在點B處看見一個小球從點A出發(fā)沿著AO方向勻速滾向點O,機器人立即從點B出發(fā),沿直線勻速前進攔截小球,恰好在點C處截住了小球.如果小球滾動的速度與機器人行走的速度相等,那么機器人行走的路程BC是多少?
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【題目】如圖(1), 點為直線上一點,過點作射線, 將一直角的直角項點放在點處,即反向延長射線,得到射線.
(1)當的位置如圖(1)所示時,使,若,求的度數.
(2)當的位置如圖(2)所示時,使一邊在的內部,且恰好平分,
問:射線的反向延長線是否平分請說明理由:注意:不能用問題中的條件
(3)當的位置如圖所示時,射線在的內部,若.試探究與之間的數量關系,不需要證明,直接寫出結論.
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