Question

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，點(diǎn)E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，AE與BF交于點(diǎn)O．
（1）證明：△ABE≌△BCF．
（2）求線段AO的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=CD，∠ABC=∠C=90°，再求出BE=CF，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△BCF全等；
（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BAE=∠CAF，然后求出AE⊥BF，利用勾股定理列式求出AE，然后利用△ABE的面積列方程求出BO，再利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．

解答：（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD，∠ABC=∠C=90°，
∵點(diǎn)E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，
∴BE=CF=

1

2

BC=

1

2

×2=1，
在△ABE和△BCF中，

AB=BC ∠ABC=∠C=90° BE=CF

，
∴△ABE≌△BCF（SAS）；

（2）解：∵△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠CAF，
∴∠BAE+∠ABO=∠CBF+∠ABO=90°，
∴AE⊥BF，
在Rt△ABE中，AE=

AB2+BE2

=

22+12

=

5

，
S_△ABE=

1

2

×

5

BO=

1

2

×2×1，
解得BO=

2 5

5

，
在Rt△ABO中，由勾股定理得，AO=

AB2-BO2

=

22-( 2 5 5 )2

=

4 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于（2）利用三角形的面積求出BO的長(zhǎng)度．