Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=CA=6，半徑為2的⊙F與射線BA相切于點(diǎn)G，且AG=4，將Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°后得到Rt△ADE，點(diǎn)B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E．
（1）求證：DE為⊙F的切線；
（2）求出Rt△ADE的斜邊AD被⊙F截得的弦PQ的長度．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,勾股定理,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）作FM⊥DE于M，連結(jié)FG，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠BAC=45°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠CAE=135°，DE=EA=6，∠AED=∠ACB=90°，所以∠ABC+∠CAE=180°，即點(diǎn)C、A、E共線；由切線的性質(zhì)得FG⊥AE，于是可判斷四邊形FGEM為矩形，則FM=GE=AE-AG=2，而⊙F的半徑為2，即FM為⊙F的半徑，
所以根據(jù)切線的判定定理即可得到DE為⊙F的切線；
（2）延長EF交PQ于N，連結(jié)FP，由FM=FG=2可判斷四邊形FGEM為正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得EF平分∠AED，EF=

2

FM=2

2

，則由△EAD為等腰直角三角形得到EN⊥PQ，EN=

1

2

AB=3

2

，再根據(jù)垂徑定理得PN=QN，在Rt△PFN中，F(xiàn)N=EN-EF=

2

，根據(jù)勾股可計(jì)算出PN=

2

，所以PQ=2PN=2

2

．

解答：（1）證明：作FM⊥DE于M，連結(jié)FG，如圖，
∵∠C=90°，CB=CA=6，
∴∠BAC=45°，
∵將Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°后得到Rt△ADE，點(diǎn)B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E．
∴∠CAE=135°，DE=EA=6，∠AED=∠ACB=90°
∴∠ABC+∠CAE=180°，即點(diǎn)C、A、E共線，
∵⊙F與射線BA相切于點(diǎn)G，
∴FG⊥AE，
∴四邊形FGEM為矩形，
∴FM=GE=AE-AG=6-4=2，
∵⊙F的半徑為2，即FM為⊙F的半徑，
∴DE為⊙F的切線；
（2）解：延長EF交PQ于N，連結(jié)FP，如圖，
∵FM=FG=2，
∴四邊形FGEM為正方形，
∴EF平分∠AED，EF=

2

FM=2

2

，
而△EAD為等腰直角三角形，
∴EN⊥PQ，EN=

1

2

AB=

1

2

×6

2

=3

2

∴PN=QN，
在Rt△PFN中，F(xiàn)P=2，F(xiàn)N=EN-EF=3

2

-2

2

=

2

，
∴PN=

PF2-NF2

=

2

，
∴PQ=2PN=2

2

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了切線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、垂徑定理和勾股定理．