Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分別為邊AB、BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD-DE-EB運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B停止．點(diǎn)P在AD上以

5

cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，在折線DE-EB上以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時(shí)，過點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，以PQ為邊在PQ左側(cè)作正方形PQMN，使點(diǎn)M落在線段AC上．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D所需時(shí)間為

 

（s）；
當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則線段DP的長(zhǎng)為

 

（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí)，則t的值為

 

；
（3）當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時(shí)，設(shè)五邊形的面積為S（cm²），求S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（4）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得△DPQ為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)D為AB中點(diǎn)，求出AD，根據(jù)點(diǎn)P在AD上的速度，即可求出點(diǎn)P在AD段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再求出點(diǎn)P在DP段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，最后根據(jù)DE段運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，即可求出DP；
（2）當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí)，分兩種情況討論：①點(diǎn)D與點(diǎn)N重合，P位于線段DE上，求出DP=DM=2，再根據(jù)DP=t-2，得出t-2=2，
②點(diǎn)P位于線段EB上，求出PC=t-4，根據(jù)PN∥AC，求出PN=16-2t，根據(jù)PN=PC，得16-2t=t-4，求出t即可；
（3）當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時(shí)，有兩種情況，①當(dāng)2＜t＜4時(shí)，求出DP=t-2，PQ=2，AQ=2+t，AM，根據(jù)MN∥BC，求出FM=

1

2

t，
再根據(jù)S=S_梯形AQPD-S_△AMF=

1

2

（DP+AQ）•PQ-

1

2

AM•FM代入計(jì)算即可；
②當(dāng)

20

3

＜t＜8時(shí)，求出PC=t-4，AM=12-t，F(xiàn)M=6-

1

2

t，PG=16-2t，再根據(jù)S=S_梯形AQPG-S_△AMF=

1

2

（PG+AC）•PC-

1

2

AM•FM代入計(jì)算即可；
（4）當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí)，∠DPQ為鈍角，此時(shí)只有PD=PQ，根據(jù)△APQ∽△ABC，求出PQ=t，再根據(jù)DP=DA-AP求出DP=2

5

-

5

t，得出t=2

5

-

5

t；當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí)，∠DPQ為直角，此時(shí)只有PD=PQ，根據(jù)PD=t-2，PQ=2，得出t-2=2；當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上時(shí)，此時(shí)Q、C重合；當(dāng)DP=DQ時(shí)，此時(shí)Q、C重合，則t=8；當(dāng)PC=PD時(shí)，PC²=PD²，得出（t-4）²=4²+（t-6）²，當(dāng)CD=CP時(shí)，得出2

5

=t-4，再分別求解即可．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=4cm，
∴AB=

AC2+BC2

=

82+42

=4

5

，
D為AB中點(diǎn)，∴AD=2

5

，
∴點(diǎn)P在AD段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

5

2 5

=2s．
如圖（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，DP段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（t-2）s，
∵DE段運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，
∴DP=（t-2）cm，
故答案為：2，（t-2）cm；

（2）當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí)，有兩種情況，如下圖所示：

①如圖（2）a，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)N重合，P位于線段DE上．
由三角形中位線定理可知，DM=

1

2

BC=2，
∴DP=DM=2．
由（1）知，DP=t-2，
∴t-2=2，
∴t=4；
②如圖（2）b，此時(shí)點(diǎn)P位于線段EB上．
∵DE=

1

2

AC，AC=8cm，
∴點(diǎn)P在DE段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4s，
∴PE=t-6，
∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4．
∵PN∥AC，
∴PN：PB=AC：BC=2，
∴PN=2PB=16-2t．
由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=

20

3

，
所以，當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí)，t=4或t=

20

3

；
故答案為：t=4或t=

20

3

；

（3）當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時(shí)，有兩種情況，如下圖所示：

①當(dāng)2＜t＜4時(shí)，如圖（3）a所示．
DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t．
∵M(jìn)N∥BC，
∴FM：AM=BC：AC=1：2，
∴FM=

1

2

AM=

1

2

t，
S=S_梯形AQPD-S_△AMF=

1

2

（DP+AQ）•PQ-

1

2

AM•FM=

1

2

[（t-2）+（2+t）]×2-

1

2

t•

1

2

t=-

1

4

t²+2t；
②當(dāng)

20

3

＜t＜8時(shí)，如圖（3）b所示．
PE=t-6，
∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，
∴FM=

1

2

AM=6-

1

2

t，PG=2PB=16-2t，
S=S_梯形AQPG-S_△AMF=

1

2

（PG+AC）•PC-

1

2

AM•FM=

1

2

[（16-2t）+8]×（t-4）-

1

2

（12-t）•（6-

1

2

t）=-

5

4

t²+22t-84．
∴綜上所述，S與t的關(guān)系式為：S=

- 1 4 t2+2t(2＜t＜4) - 5 4 t2+22t-84( 20 3 ＜t＜8)

．

（4）當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí)，∠DPQ為鈍角，此時(shí)只有PD=PQ，
∵△APQ∽△ABC，
∴

AP

AB

=

PQ

BC

，
∴

5 t

4 5

=

PQ

4

，
∴PQ=t，
∵DP=DA-AP=2

5

-

5

t，
∴t=2

5

-

5

t，
t=

5- 5

2

＜2，符合題意；
當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí)，∠DPQ為直角，此時(shí)只有PD=PQ，
∵PD=t-2，PQ=2，
∴t-2=2，
t=4；
當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上時(shí)，此時(shí)Q、C重合，
當(dāng)DP=DQ時(shí)，此時(shí)Q、C重合，則t=8；
當(dāng)PC=PD時(shí)，PC²=PD²，（t-4）²=4²+（t-6）²，
t=9＞8，不合題意舍去，
當(dāng)CD=CP時(shí)，2

5

=t-4，t=4+2

5

＞8，不合題意舍去．
答：當(dāng)t=

5- 5

2

，4，8時(shí)，△DPQ為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形綜合，是一道運(yùn)動(dòng)型綜合題，涉及到動(dòng)點(diǎn)型（兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)）和動(dòng)線型，運(yùn)動(dòng)過程復(fù)雜，難度頗大，對(duì)同學(xué)們的解題能力要求很高．讀懂題意，弄清動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)線的運(yùn)動(dòng)過程，是解題的要點(diǎn)．注意第（2）、（3）問中，分別涉及多種情況，需要進(jìn)行分類討論，避免因漏解而失分．