Question

【題目】如圖，已知矩形的邊，，點、分別是、邊上的動點.

（1）連接、，以為直徑的交于點.

①若點恰好是的中點，則與的數(shù)量關系是______；

②若，求的長；

（2）已知，，是以為弦的圓.

①若圓心恰好在邊的延長線上，求的半徑：

②若與矩形的一邊相切，求的半徑.

Answer 1

【答案】（1）①；②1.5；（2）①5；②、，、5.

【解析】

（1）①根據(jù)直徑所對的圓周角是直角判斷△APQ為等腰三角形，結(jié)合等腰三角形的兩底角相等和圓周角定理證明；②證明△PBQ∽△QBA，由對應邊成比例求解；

（2）①畫出圖形，由勾股定理列方程求解；②分與矩形的四邊分別相切，畫出圖形，利用切線性質(zhì)，由勾股定理列方程求解.

解：（1）①如圖，PQ是直徑，E在圓上，

∴∠PEQ=90°，

∴PE⊥AQ,

∵AE=EQ,

∴PA=PQ,

∴∠PAQ=∠PQA,

∴∠QPB=∠PAQ+∠PQA=2∠AQP,

∵∠QPB=2∠AQP.

\

②解：如圖，∵BE=BQ=3，

∴∠BEQ=∠BQE,

∵∠BEQ=∠BPQ,

∵∠PBQ=∠QBA,

∴△PBQ∽△QBA,

∴ ,

∴,

∴BP=1.5;

（2）①如圖， BP=3，BQ=1，設半徑OP=r,

在Rt△OPB中，根據(jù)勾股定理得，PB2+OB2=OP2

∴32+(r-1)2=r2，

∴r=5,

∴的半徑是5.

②如圖，與矩形的一邊相切有4種情況，

如圖1，當與矩形ABCD邊BC相切于點Q，過O作OK⊥AB于K,則四邊形OKBQ為矩形，

設OP=OQ=r,則PK=3x,

由勾股定理得，r2=12+(3-r)2,

解得，r=,

∴半徑為.

如圖2，當與矩形ABCD邊AD相切于點N，延長NO交BC于L,則OL⊥BC,過P作PS⊥NL于S，

設OS=x，則ON=OP=OQ=3+x，設PS=BL=y,

由勾股定理得， ，

解得 （舍去），，

∴ON=,

∴半徑為.

如圖3，當與矩形ABCD邊CD相切于點M，延長MO交AB于R,則OR⊥AB,過O作OH⊥BC于H，

設OH=BR=x，設HQ=y, 則OM=OP=OQ=4-1-y=3-y，

由勾股定理得， ，

解得 （舍去），，

∴OM=,

∴半徑為.

如圖4，當與矩形ABCD邊AB相切于點P，過O作OG⊥BC于G,則四邊形AFCG為矩形，

設OF=CG=x，，則OP=OQ=x+4,

由勾股定理得(x+4)2=32+(x+3)2,

解得，x=1,

∴OP=5,

∴半徑為5.

綜上所述，若與矩形的一邊相切，為的半徑，，，5.