【題目】如圖,在菱形ABCD中,已知∠BAD=120°,對(duì)角線BD長(zhǎng)為12.
(1)求菱形ABCD的周長(zhǎng);
(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿A→B的方向,以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng);在點(diǎn)P出發(fā)的同時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),沿D→C→B的方向,以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).
①當(dāng)PQ恰好被BD平分時(shí),試求t的值;
②連接AQ,試求:在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)t取怎樣的值時(shí),△APQ恰好是一個(gè)直角三角形?
【答案】(1)16;(2) ①;②見(jiàn)解析.
【解析】
(1)連接AC交BD于O,由菱形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,∠BCD=∠BAD=120°,∠BCO=∠BCD=60°,OB=OD=BD=6,在Rt△BOC中,由三角函數(shù)求出BC=4,即可得出菱形ABCD的周長(zhǎng);
(2)①當(dāng)點(diǎn)Q在CD邊上時(shí),設(shè)PQ交BD于M,則PM=QM,由平行線求出BP=DQ,根據(jù)題意得:AP=t,DQ=2t,則BP=4-t,得出4-t=2t,解方程即可;
當(dāng)點(diǎn)Q在CB邊上時(shí),不存在;
②當(dāng)點(diǎn)Q在CD邊上時(shí),若∠PAQ=90°,與平行線的性質(zhì)得出∠AQD=∠PAQ=90°,則∠DAQ=30°,由直角三角形的性質(zhì)得出DQ=AD=2,即2t=2,求出t的值即可;
若∠APQ=90°,作AN⊥CD于N,則∠PAN=90°,NQ=AP=t,由直角三角形的性質(zhì)得出DN=AD=2,得出方程2t=2+t,解方程即可;
當(dāng)點(diǎn)Q在CB邊上時(shí),證出∠BPQ=90°,即∠APQ=90°恒成立.得出當(dāng)2≤t≤4時(shí)△APQ都為直角三角形;即可得出答案.
解:(1)連接AC交BD于O,如圖1所示:
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,∠BCD=∠BAD=120°,∠BCO=∠BCD=60°,OB=OD=BD=6,
在Rt△BOC中,BC= ,
∴菱形ABCD的周長(zhǎng)=4×4=16;
(2)①當(dāng)點(diǎn)Q在CD邊上時(shí),
設(shè)PQ交BD于M,則PM=QM,
∵AB∥CD,
∴=1,
∴BP=DQ,
根據(jù)題意得:AP=t,DQ=2t,則BP=4-t,
∴4-t=2t,
解得:t=;
當(dāng)點(diǎn)Q在CB邊上時(shí),不存在;
②當(dāng)點(diǎn)Q在CD邊上時(shí),若∠PAQ=90°,如圖2所示:
∵AB∥CD,
∴∠AQD=∠PAQ=90°,
∴∠DAQ=30°,
∴DQ=AD=2,
即2t=2,
解得:t=;
若∠APQ=90°,如圖3所示:
作AN⊥CD于N,則∠PAN=90°,NQ=AP=t,
∴∠DAN=30°,
∴DN=AD=2,
∵DQ=DN+NQ,
∴2t=2+t,
解得:t=2;
當(dāng)點(diǎn)Q在CB邊上時(shí),如圖4所示:
根據(jù)題意得:AP=t,BP=4-t,CQ=2t-4,
∴BQ=4-(2t-4)=8-2t,
∴BP=BQ,
作QH⊥BP于H,
∵∠ABC=60°,
∴∠BQH=30°,
∴BH=BQ=4-t,
∴BP=BH,即H與P重合,
∴∠BPQ=90°,
即∠APQ=90°恒成立.
∴當(dāng)2≤t≤4時(shí)△APQ都為直角三角形.
綜上可得,當(dāng)t=或2≤t≤4時(shí),△APQ恰好為直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,點(diǎn)D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn),點(diǎn)F、G是邊AC的三等分點(diǎn),DF、EG的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H,連接HA、HC.
(1)求證:四邊形FBGH是菱形;
(2)求證:四邊形ABCH是正方形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中,AB=3,AD=5,∠BAD=60°,點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn),則AC的長(zhǎng)是__.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD中,M為BC上一點(diǎn),F是AM的中點(diǎn),EF⊥AM,垂足為F,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交DC于點(diǎn)N.
(1)求證:△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=5,求DE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為豐富同學(xué)們的校園生活,某校積極開(kāi)展了形式多樣的社團(tuán)活動(dòng)(每人僅限參加一項(xiàng)).小明在八年級(jí)隨機(jī)抽取了2個(gè)班級(jí),對(duì)這2個(gè)班級(jí)參加體育類(lèi)社團(tuán)活動(dòng)的人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),并繪制了下面的統(tǒng)計(jì)圖.已知這2個(gè)班級(jí)共有6%的學(xué)生參加“足球”項(xiàng)目,且參加“足球”項(xiàng)目的學(xué)生數(shù)占參加體育類(lèi)社團(tuán)活動(dòng)學(xué)生數(shù)的20%.
(1)這2個(gè)班參加體育類(lèi)社團(tuán)活動(dòng)人數(shù)為 .
(2)請(qǐng)?jiān)趫D中將表示“棒球”項(xiàng)目的圖形補(bǔ)充完整;
(2)若該校八年級(jí)共有600名學(xué)生,請(qǐng)你根據(jù)上述信息估計(jì)該校八年級(jí)共有多少名學(xué)生參加“棒球”項(xiàng)目.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形AOBC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,3),O(0,0),B(4,0),C(4,3),動(dòng)點(diǎn)F在邊BC上(不與B.C重合),過(guò)點(diǎn)F的反比例函數(shù)y=的圖象與邊AC交于點(diǎn)E,直線EF分別與y軸和x軸相交于點(diǎn)D和G.給出下列命題:①若k=4,則△OEF的面積為;②若k=,則點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在x軸上;③滿足題設(shè)的k的取值范圍是0<k≤12;④若DEEG=,則k=1.其中正確的命題的序號(hào)是____________(填序號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】用水平線和豎起線將平面分成若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形格子,小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn),以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形稱(chēng)為格點(diǎn)多邊形.設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為S,該多邊形各邊上的格點(diǎn)個(gè)數(shù)為a,內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù)為b,則S=a+(b-1).
對(duì)于正三角形網(wǎng)格中的類(lèi)似問(wèn)題也有對(duì)應(yīng)結(jié)論:正三角形網(wǎng)格中每個(gè)小正三角形面積為1,小正三角形的頂點(diǎn)為格點(diǎn),以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形稱(chēng)為格點(diǎn)多邊形,如圖是該正三角形格點(diǎn)中的兩個(gè)多邊形(設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為S,該多邊形各邊上的格點(diǎn)個(gè)數(shù)為m,內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù)為n):
(1)根據(jù)圖中提供的信息填表:
m | n-1 | s | |
多邊形1 | 11 | ______ | 15 |
多邊形2 | 8 | 1 | ______ |
… | … | … | … |
(2)則S與m、m-1之間的關(guān)系為______(用含m、n的代數(shù)式表示).
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【題目】如圖,反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)圖象交于點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若射線上有一點(diǎn),且,過(guò)點(diǎn)作與軸垂直,垂足為,交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn),連接,,請(qǐng)求出的面積.
(3)定義:橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為“整點(diǎn)”.在(2)的條件下,請(qǐng)?zhí)骄窟?/span>,與反比例函數(shù)圖象圍成的區(qū)域內(nèi)(不包括邊界)“整點(diǎn)”的個(gè)數(shù).
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【題目】某中學(xué)為了了解學(xué)生平均每天“誦讀經(jīng)典”的時(shí)間,在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽查了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),并將調(diào)查統(tǒng)計(jì)的結(jié)果分為四類(lèi),每天誦讀時(shí)間t≤20分鐘的學(xué)生記為A類(lèi),20分鐘<t≤40分鐘的學(xué)生記為B類(lèi),40分鐘<t≤60分鐘的學(xué)生記為C類(lèi),t>60分鐘的學(xué)生記為D類(lèi).將收集的數(shù)據(jù)繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)這次共抽查了 名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),m= ,n= ;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全上面的條形圖;
(3)如果該校共有1600名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)該校C類(lèi)學(xué)生約有多少人.
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