Question

13．如圖1，已知A（0，2）、B（-1，0）兩點，以B為直角頂點在第二象限作等腰Rt△ABC．
（1）求點C的坐標；
（2）如圖2，直線CB交y軸于E，在直線CB上取一點D，連接AD，若AD=AC，求證：BE=DE．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作CM⊥x軸于M，只要證明△CBM≌△BAO即可．
（2）如圖2中，先證明AB=BD=$\sqrt{5}$，求出直線BC的解析式，然后求出點E坐標，求出BE的長即可解決問題．

解答 （1）解：如圖1中，作CM⊥x軸于M．
∵BC=AB，∠ABC=90°，
∴∠CBM+∠ABO=90°，
∵∠BCM+∠CBM=90°，
∴∠BCM=∠ABO，
在△CBM和△BAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCM=∠ABO}\\{∠CMB=∠AOB}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△CBM≌△BAO，
∴CM=B0=1，BM=AO=2，
∴點C坐標為（-3，1）．
（2）證明：如圖2中，∵∠CAB=45°，AC=AD，AB⊥CD，
∴∠BAC=∠BAD=45°，
∵∠ABD=90°，
∴∠D=∠BAD=45°，
∴BD=AB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
設(shè)直線BC為y=kxb把B、C兩點坐標代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=1}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線BC為y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
∴點E坐標為（0，-$\frac{1}{2}$）．
∴BE=$\sqrt{{1}^{1}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴DE=BD-BE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴BE=ED．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、坐標與圖形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、一次函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，學會構(gòu)建一次函數(shù)解決問題，屬于中考常考題型．