Question

8．如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，CE是角平分線，AE、CE交于點F．
（1）判斷△AEF的形狀，并說明理由；
（2）作FG∥BC交AB于點G，求證：AF=BG．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：△AEF是等腰三角形，只要證明∠AEF=∠AFE即可．
（2）作EH⊥BC于H，只要證明△AFG≌△EHB，再利用等量代換即可得到AG=EB．

解答 （1）解：結(jié)論：△AEF是等腰三角形．
理由：∵AD為△ABC的高，EC平分∠ACD，
∴∠ADC=90°，∠ACE=∠ECB，
∵∠B+∠ACB=90°，∠DAC+∠ACB=90°，
∴∠B=∠DAC，
∵∠AEC=∠B+∠ECB，
∴∠AEC=∠DAC+∠ECA=∠AFE，
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形．
（2）證明：作EH⊥BC于H，
∵E是角平分線上的點，EH⊥BC，EA⊥CA，
∴EA=EH，
∵AE=AF，
∴EH=AF，
∵FG∥BC，
∴∠AGF=∠B，
在△AFG和△EHB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAF=∠BEH}\\{∠AGF=∠B}\\{AF=EH}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△EHB（AAS）
∴AG=EB，
即AE+EG=BG+GE，
∴AE=BG．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，出現(xiàn)角平分線應(yīng)該利用角平分線性質(zhì)定理添加輔助線，屬于中考常考題型．